7.3.1离散型随机变量的均值 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

7.3.1 离散型随机变量的均值 第七章 随机变量及其分布 复习回顾 回顾1 什么是随机变量和离散型随机变量？ 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 回顾2 什么是离散型随机变量的分布列及其性质？ 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，则X的概率分布列为： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示. (1) 离散型随机变量的分布列 根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (2) 离散型随机变量的分布列的性质 复习回顾 新课导入 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征. 离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差 样本均值： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 回顾3 什么是一组数据的均值和方差？ 新知探究 问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢? 分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 新知探究 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 解： =9 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 甲n次射箭射中的平均环数为 当n足够大时，频率稳定于概率 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 概念生成 随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 权数 加权平均数 典例解析 例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 解：由题意得，X的分布列为 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 方法归纳 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值； (2)求概率：求X取每个值的概率； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：由均值的定义求出E(X). 求随机变量的分布列 典例解析 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则： 解： 即点数X的均值是3.5. 所以X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 P 观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别? ①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化； ②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值. 新知探究：样本平均值和随机变量均值的区别与联系 问题3 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的