第04讲 二次函数的性质综合（4种题型）-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 二次函数的性质综合（4种题型） 【知识梳理】 一．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 三．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 四．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 五．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 【考点剖析】 一．二次函数的性质（共17小题） 1．（2022秋•金东区期末）抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝﹣ D．x＝﹣1 2．（2023•龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（　　） A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0 C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0 3．（2022秋•西湖区期末）设函数y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 4．（2023•长兴县一模）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（ 9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3） 5．（2022秋•温州期末）抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1） 6．（2023•婺城区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线x