2022-2023学年高二物理竞赛课件：玻耳兹曼分布

玻耳兹曼分布 在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应 的系统的微观状态数。而且举例说明了对于一个 孤立系统的约束条件不变的条件下，即E、N、 V=Const。对于不同的分布系统的微观状态数是不 同的。可能存在这样一个分布，它使系统的微观状 态数最多。 玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统 经典系统 微观状态 根据等几率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几分布（最概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。 三种分布的推导 斯太林公式： 当足够大时,第二项与第一项相比可以忽略.这时 玻耳兹曼分布 两边取对数得： 若假设N>>1，al>>1 ， ωl>>1,可得到： 对 两边关于 求变分， 但这些 不完全是独立的，必须满足约束条件： 则必须满足： 为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法， 取未定因子为a和β分别乘以上面两式，有 令 从中减去前两式 则有： 即， 玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为 的量子态 上的平均粒子数 a和β分别由下面条件决定 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布， 称为玻耳兹曼分布。 a和β分别由下面条件决定 说明 （1） 取极大值的条件不仅要求 同时要求 证明：对 关于 再求变分，有 所以满足取极大值的条件。 （2）一个处在宏观平衡态的孤立系统可能给出的微观状态数为各种分布对应的微观状态数的总和，其中最概然分布给出的微观状态数比其他分布给出的微观状态数大得多，因此可以用最概然分布给出的微观状态数来近似系统总的微观状态数。 现将玻耳兹曼分布的微观状态数 与对玻耳兹曼分布有偏离 的一个分布的微观状态数 加以比较。对 作泰勒展开， 假设对玻耳兹曼分布的相对偏离为 则 对于 的宏观系统， $