第十七章 勾股定理 　课标新动向(回归教材)　勾股定理与代数推理　课件　　2022—2023学年人教版数学八年级下册

课标新动向(回归教材)　 勾股定理与代数推理 第十七章 勾股定理 【概述】《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确要求了解代数推理，养成利用数学符号论证问题的习惯，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神. 1.【例1】(人教8下P34、北师8上P10)我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗? 解：∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数， ∵(3k)2＋(4k)2＝(5k)2， ∴3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数. ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck是三个正整数，且a2＋b2＝c2， ∵(ak)2＋(bk)2＝a2k2＋b2k2＝(a2＋b2)k2＝c2k2＝(ck)2， ∴ak，bk，ck是一组勾股数. 4.(人教8下P39)古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数.你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 解：正确.理由： ∵m表示大于1的整数， ∴a，b，c都是正整数，且c是最大边， ∵(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，∴a2＋b2＝c2，即a，b，c为勾股数. 当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5. 2.【例2】在△ABC中，BC＝m－n(m＞n＞0)，AC＝2，AB＝m＋n. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式. (1)证明：∵BC＝m－n(m＞n＞0)， AC＝2，AB＝m＋n， ∴AC2＋BC2＝4mn＋(m－n)2＝4mn＋m2＋n2－2mn ＝m2＋n2＋2mn＝(m＋n)2＝AB2， ∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形. (2)解：∵∠A＝30°， ∴，∴m＝3n. 5.已知△ABC的三边长分别为a，b，c. (1)求证：a2＋c2－2ac＜b2； (2)当a2c2－b2c2＝a4－b4时，试判断△ABC的形状. (1)证明：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，∴b＞|a－c|， ∵b＞0，|a－c|≥0，∴b2＞(a－c)2， ∴a2＋c2－2ac＜b2. (2)解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4， ∴c2(a2－b2)－(a2＋b2)(a2－b2)＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， ∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0， ∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. 3.【例3】(人教8下P24改编、北师8上P8)当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”推导出a2＋b2＝c2.请写出推导过程. 证明：∵S五边形＝＝S正方形＋2S直角三角形， 即(b＋a＋b)·b＋(a＋a＋b)·a＝c2＋2×ab， 即ab＋b2＋a2＋ab＝c2＋ab， ∴a2＋b2＝c2. 6.(人教8下P39)设直角三角形的两直角边及斜边上的高分别为a，b及h.求证：. 证明：设斜边为c，根据勾股定理可得c＝， 由面积关系可得ab＝ch，即ab＝ch， ∴ab＝h，等式两边平方得a2b2＝a2h2＋b2h2， 等式两边除以a2b2h2，得. 【概述】近年来，广东省中考数学命题把数学知识和国家及地区经济社会发展中出现的热点问题有机结合起来，凝练出时代气息浓郁的数学问题.同时，2022版新课标也加大了数学学科的跨学科融合，2022年省考的第20题就是与物理学科融合，我们需要重视这样的新动向. 1.【例1】(2022温州改编)如图为一块光学直角棱镜，其截面为直角三角形ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射，折射后到达AB边上的D点，恰有CD⊥AB，再经过反射后，从E点垂直于BC射出，则DE的长为　 　. 2 cm 4.某化学实验装置的截面图如图所示，上方装置可看作一长方形，其侧面与水平线的夹角为45°(OA＝35 cm)，下方是一个高为100 cm的圆柱形容器.若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为( ) A.30 cm　 B.35 cm　 C.35 cm 　 D.65 cm D 2.【例2】(2022苏州期末)“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”.现以现代大道所在的直线为x轴，星海街所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系(1个单位长度