第十七章 勾股定理 母题探源——《勾股定理》教材母题精选 课件　　2022—2023学年人教版数学八年级下册

母题探源——《勾股定理》教材母题精选 第十七章 勾股定理 1.(人教8下P29、北师8上P15)有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少? 解：设水深x尺，则芦苇长 (x＋1)尺， 由勾股定理，得52＋x2＝(x＋1)2，解得x＝12. 答：水的深度是12尺. 2.(人教8下P34、北师8上P9)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗? 解：在△ABD中， AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 3.(人教8下P29、北师8上P51)有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形. 解：分割方法和拼接方法分别如图1和图2. 答案图 4.(人教8下P39、北师8上P13)如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱表面爬行.从点A爬到点B的最短路程是多少厘米(结果保留小数点后一位)? 解：如图， 答案图 ∵圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm， ∴AD＝6π cm，BD＝10 cm， ∴AB＝≈21.3(cm). 答：从点A爬到点B的最短路程约是21.3 cm. 5.(人教8下P39、北师8上P47－48)如图，每个小正方形的边长都是1. (1)求四边形ABCD的周长和面积； (2)∠BCD是直角吗? 解：(1)AB＝5，AD＝6，CD＝，BC＝2，则： 四边形ABCD的周长为5＋6＋＋2＝6＋6＋2； 面积为5×7－×5×5－×1×1－×2×4＝18. (2)连接BD， ∵CD＝，BC＝2，BD＝， ∴CD2＋BC2≠BD2，∴∠BCD不是直角. 6.(人教8下P34、北师8下P16)在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求证：AB＝AC. 证明：如图，∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，AD＝12， ∴BD＝BC＝5. ∵52＋122＝132， 即BD2＋AD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC， 又∵BD＝CD，∴AB＝AC. 答案图 7.(人教8下P29)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2.求斜边AB的长. 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC， ∵AB2＝AC2＋BC2，AC＝2， ∴(2BC)2＝4＋BC2， 解得BC＝(负值舍去)， ∴AB＝2BC＝，即斜边AB的长为. 8.(北师8上P13)如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.若滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长. 解：设AC的长为x m， ∵AC＝AB， ∴AB＝AC＝x m， ∵EB＝CD＝1 m，∴AE＝(x－1)m， 在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2， 即x2＝32＋(x－1)2，解得x＝5， ∴滑道AC的长为5 m. 9.(数学文化)(人教8下P31、北师8上P17)据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13 个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.你能说说其中的道理吗? 解：设相邻两个结点之间的距离为a(a＞0)， 则此三角形三边的长分别为3a，4a，5a， ∵(3a)2＋(4a)2＝(5a)2， ∴以3a，4a，5a为边长的三角形是直角三角形. 10.(人教8下P34、北师8上P10)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，求证：∠AEF＝90°. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°. 设AB＝BC＝CD＝DA＝4a， ∵E是BC的中点，且CF＝CD， ∴BE＝EC＝2a，CF＝a，DF＝3a， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2＋BE2＝20a2， 同理可得：EF2＝EC2＋FC2＝5a2，AF2＝AD2＋DF2＝25a2， ∵AE2＋EF2＝AF2， ∴△AEF为直角三角形， ∴∠AEF＝90°. 11.(人教8下P29、北师8上P17改编)如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积. 证明：∵△ACD是直角三角形， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∵