第十七章 勾股定理 　中考重难点(模型观念)　挖掘教材中的勾股定理与最短路径模型　课件　　2022—2023学年人教版数学八年级下册

中考重难点(模型观念)　 挖掘教材中的勾股定理与最短路径模型 第十七章 勾股定理 【概述】《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出在运用数学知识解决问题时，适当体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程.同时，最值问题是广东中考数学的一个重难点.本专题主要将勾股定理与最短路径中常见的模型进行归纳，帮助大家突破难点. 模型 来源 人教7上P130 模型   解读 正方体的展开图有多种形式，由于正方体所有的棱长都相等，因而无论经过哪两个面，展开图形中长方形的对角线都相等，利用两点之间线段最短解决问题. 模型一　正方体中的最短路径模型 1.如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C'处的最短路径是多少? 解：可以把P和C'所在的两个平面展开到一个平面内，则两点之间，线段最短. 根据勾股定理， 得PC'＝. 答：最短路径是. 模型 来源 人教8下P39、北师8上P13 模型   解读 通常将圆柱的曲面展开得到一个长方形，研究两点连线最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题. 模型二　圆柱体中的最短路径模型 2.(跨学科融合)葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上.如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12 dm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高9 dm时，这段葛藤的长是多少? 解：如图，展开图中AC＝12 dm，BC＝9 dm， 在Rt△ABC中， AB＝＝15(dm). 答：这段葛藤的长是15 dm. 答案图 模型 来源 北师8上P15 模型   解读 解决长方体中的最短路径问题与解决正方体的此类问题类似，但长方体的三条路径长分别是展开图形的三个长方形的对角线长，且不相等，需通过计算找出最短路径. 模型三　长方体中的最短路径模型 3.(人教8下P39改编、北师8上P15)如图，一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少? 解：不同表面的最短线路展开后如图所示，有两种情况. 如图1，因为AB2＝122＋(8＋8)2＝400， 所以AB＝20 cm. 如图2，AB2＝82＋(12＋8)2＝464. 因为464＞400，所以蚂蚁要爬行的最短路程是20 cm. 答案图 模型 来源 北师8上P13 模型   解读 基本思路是将空间问题平面化，转化为研究两点连线最短的问题.阶梯问题中图形的展开方式通常是唯一的，关键是不要有遗漏，正确画出展开图. 模型四　阶梯问题中的最短路径模型 4.如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米? 答案图 解：如图，将木块展开， 由题意可知，长相当于是AB＋2个正方形的宽， ∴长为20＋2×2＝24米，宽为18米， ∴最短路程为＝30米. 模型 来源 人教8上P85、北师7下P123 模型   解读 当两定点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点(三点共线)，即可得到最短路径. 模型五　对称问题中的最短路径模型 5.(2022西宁模拟)如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM＋MN的最小值是　 　.  3 解析：如图，连接CM，CN， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴AD是BC的垂直平分线，∴BM＝CM， ∴BM＋MN＝CM＋MN， 故当点C，M，N三点共线时，BM＋MN最小值为CN的长. ∵点N是AB的中点，∴CN⊥AB，AN＝AB＝3， ∴CN＝＝3， ∴BM＋MN的最小值为3. 答案图 $