第02讲 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型） 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n) 2=p (p≥0)的方程. 3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程. 4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 知识点1：直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 题型1：用直接开平方法解一元二次方程 例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【分析】根据直接开平方解方程即可． 【解答】解：直接开平方得：x＝±2， ∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 例2．（2022秋•江都区期中）解方程： （1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可； （2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝， ∴， ∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0， （2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 例3.解关于的方程：． 【答案】，． 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得： 即方程两根为，． 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为． 例4.解关于的方程：． 【答案】，． 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为，． 【总结】直接开平方法解形如方程两根即为． 例5.解关于的方程：． 【答案】，． 【解析】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 得或，即方程两根为，． 【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或． 例6.解关于的方程：． 【答案】