第04讲 矩形的判定、判定与性质综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第04讲 矩形的判定、判定与性质综合 1. 掌握矩形的判定定理. 2. 学会用矩形的性质与判定综合解题. 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 考点一：矩形的判定 例1．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　） A．四个内角都相等 B．四条边都相等 C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形 例2．下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 例3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是(　 　) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC 例4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（   ） A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 考点二：添加一个条件成为矩形 例5．如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ） A． B． C． D． 例6．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 例7．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(   ) A． B． C． D． 例8．如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．平分 C． D． 考点三：矩形的判定的证明 例9．如图，是平行四边形的一条对角线，E是的中点，连接并延长交的延长线于F． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形是矩形． 例10．如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 例11．如图，四边形的对角线交于点，于E，于F，点 O 既是的中点，又是的中点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 例12．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接． (1)求证： (2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由． 考点四：根据矩形的判定与性质求长度 例13．如图，在矩形中，垂直平分于点，若，，则线段的长度是______． 例14．四边形的对角线相交于点，且，，则_______． 例15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，则BF＝_____． 例16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______． 考点五：根据矩形的判定与性质求角度 例17．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 例18．如图，在矩形中，，点在上，且，则________． 例19．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度． 例20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为____ ． 例21．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___． 考点六：根据矩形的判定与性质求面积 例22．已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是___________． 例23．如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为_________． 例24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE＝CD； ②∠DGF＝135°； ③△BEG≌△DCG； ④∠ABG+∠ADG＝180°； ⑤若，则3S△BDG＝13S△DGF． 其中正确的结论是_____．（请填写所有正确结论的序号） 一、单选题 1．（2020·湖北·中考真题）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2020·山东菏泽·统考中考真题）如果顺次连接