22.2.4 一元二次方程根的判别式 课件 2022-2023学年人教版九年级数学下册

22.2.4 一元二次方程根的判别式 九年级上 1. 了解一元二次方程根的判别式； 2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 3. 能够应用根的判别式解决简单的一元二次方程根的问题. 学习目标 重点 重点 难点 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 ① 观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？ 新课引入 一、一元二次方程根的判别式 b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根？ 思考 ∵a ≠0， ∴4a2>0. 式子 b2 - 4ac 的值有以下三种情况： 方程有两个不等的实数根 (1) b2 - 4ac > 0 这时 > 0，由①得 新知学习 (2) b2 - 4ac = 0 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2= - . (3) b2 - 4ac < 0 这时 < 0，由①可知 < 0 ，而x取任何实数都不能使 < 0 ，因此方程无实数根. 两个相等的实数根 归纳 这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示， 即 Δ＝b2－4ac. 并且有： ax2 + bx + c = 0(a≠0) b2 - 4ac ＞ 0 b2 - 4ac = 0 b2 - 4ac ＜ 0 两个不相等的实数根 无实数根 例1 不解方程，判断下列方程根的情况．　　　　　 (1) 解：(1) 原方程可变形为 因为 Δ = 所以方程有两个不相等的实数根. (2) (3) 解：(2) 因为 Δ = 所以方程有两个相等的实数根. 解：(3) 原方程可变形为 因为 Δ = 所以方程无实数根. 归纳 判断方程根的情况一般步骤： 3. 判别根的情况，得出结论. 2. 计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 1. 化为一般式，确定 a、b、c 的值. 针对训练 1.连线 Δ的值 4 0 根的情况 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 方程 二 一元二次方程根的判别式的应用 例2 k 取何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 - 12x + 9 = 0 有两个不相等的实数根？ 解：∵方程 kx2－12x + 9 = 0 是关于 x 的一元二次方程， ∴k ≠ 0. 方程根的判别式 Δ = ( -12)2 - 4k×9 = 144 - 36k. 由 144 - 36k > 0，求得 k < 4，又 k ≠ 0， ∴当 k < 4 且 k ≠ 0 时，方程有两个不相等的实数根． 针对训练 2. 关于 x 的一元二次方程 x²－10x＋a² = 0 有两个相等的实数根，则 a = ______　. 1. 若一元二次方程 kx²＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k ≥ -1 C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0 D 1.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0的两根相等，则△ABC的形状为____________. 直角三角形 思路点拨：将关于x的一元二次方程a(1＋x2)＋2bx－c(1－x2)＝0化为一般形式(a+c)x2＋2bx+(a-c)=0， ∵x的两根相等， ∴Δ =0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0， 化简得b2+c2=a2，满足勾股定理， ∴△ABC是直角三角形. 随堂练习 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1) 2y²＋5y＋6＝0; (2) 4x2=12x－9. 解：(1)∵b2 - 4ac = 5² - 4×2×6 = 25 - 48 = -23<0, ∴方程2y² + 5y + 6 = 0没有实数根. (2) 方程化为：4x2 - 12x + 9 = 0， ∴b2 - 4ac = ( -12)2 - 4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 3.已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2+k＝0.(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 解：因为 Δ =［－(3＋4k)］2-4×2×(2k2+k)=1