第二章 2.3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【优课堂给力A+】2023中考数学抢分策略考点讲解

优课堂稽争A十·中考数学总复习 2.3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 教材梳理 模拟考点 1.(2021·广安)关于x的一元二次方程 1.一元二次方程根的判别式： (a+2)x2-3x+1=0有实数根，则a的取 (1)一元二次方程根的判别式，通常用“△” 值范围是 来表示，△= (2)一元二次方程a.x2+bx+c=0(a≠0)的 Aa<且a≠-2Ba< 根的情况与△的关系： Ca<且u≠-2 Da<号 ①△>0台方程有 的实数根： 2.(2021·房山区二模)已知关于x的一元 ②△=0台方程有 的实数根： 二次方程x2+(m+2)x+2m=0. ③4≥0台方程 实数根： (1)求证：方程总有两个实数根： ④△<0台方程 实数根 (2)若该方程有一个根大于3，求m的取值 2.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 范围. (1)若1x2是一元二次方程a.x2+bx+c 0(a≠0)的两个根，则有x1+x2= TIt: 注：一元二次方程的根与系数的关系的两个 使用前提条件：一元二次方程有实数根，即 △≥0，且a≠0. (2)根与系数关系的常用变形： ①x十x2=(01+x2)2-2x1x2: 3.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+ ②1+1=1+ 2b.x+(a-c)=0,其中a,b,c分别为 CI T3 TI2 ③(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2）+1: △ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根，试判断 ④|一|=√（知一=√（④+》-4知 △ABC的形状，并说明理由： 考点探究 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判 考点一 根的判别式 断△ABC的形状，并说明理由： 例1(2021·成都模拟)已知关于x的方 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个 程x2+4x+3一a=0有两个不相等的实数根， 一元二次方程的根. 求a的取值范围. 备考笔记 根的判别式适用的前提是一元二次方程。在计 算时，要将方程化为一般形式，确定a,,c的值，然 后比较-4ac与0的大小. ·16· 第二章方程与不等式（组） 考点二根与系数的关系 模拟考点 例2(1)若x1+x=3,x+x3=5,则以 4.(2021·玉林)已知关于x的一元二次方程： x1,x2为根的一元二次方程是 x2一2x十m=0有两个不相等的实数根x1, A.x2-3.x+2=0B.x+3x-2=0 x,则 C.x2+3.x+2=0D.x2-3.x-2=0 A.x1+2<0 B.x1x2<0 (2)设a,3是方程x2-x-2020=0的两 C.x1x2>-1 D.x1x2<1 根，则a3+20213-2020的值为 5.若a,3是关于x的一元二次方程x2-2x (3)若关于x的一元二次方程x”+(m 一2)x十m2=0的两个实数根互为倒数，则m m=0的两实根，且日+日-一号则n 等于 ( 的值是 A.-2B.-3 C.2 D.3 例3关于x的一元二次方程(m-2)x2 6.(2021·成都)若m,n是一元二次方程x2+ 2m.x+m+3=0有两个实数根 2x-1=0的两个实数根，则m2十4m+2n的 (1)求m的取值范围： 值是 (2)若x,x2是方程的两个根，且x一x 7.已知x1,x2是一元二次方程(a一6)x2+ =2,求m的值 2ax+a=0的两个实数根. (1)求a的取值范围： (2)求使代数式(x1+1)(x2+1)值为负整 数的实数a的整数值： (3)如果实数a,b满足b=√a-5十 √10-2a+50,试求代数式x+10.x+ 5x2-b的值. 备考笔记 1一元二次方程根与系教的关系常用关系式： (1)两个基本形式： ①+g2=-么：@rr4=S a (2)四个常见变形： ①x+x=(xr1+x)2-2x1x2: ②1+1=4+五 3(x +a)(r:+a)=xr:+a(r+x:)ta'; ④lx1-x2=x1x2) =√(x1+x)-4x1x2, 2.利用根与系效的关系求参数的值时，求得的参数 应保证方程是一元二次方程，且有实数根 ·17∴原方程的解为x１ ＝０,x２ ＝ －１２ ; (３)解:整理方程,得x２ －９x＋２＝０, ∵b２ －４ac＝８１－４×１×２＝７３, ∴x＝９± ７３２ , ∴x１ ＝９ ＋ ７３ ２ ,x２ ＝９ － ７３ ２ ． 例３　解:(１)分别过点E,A 作EM ⊥BC 于点M,作AN ⊥EM 于点N,如解答图, 解答图 则 ∠EAN＝ ∠AEN＝４５°,∴AN＝EN, ∵MN＝AB,EM＝CD, ∴EN＝EM－MN＝DC－AB＝１０－４＝６(m), ∴AN＝６m, ∴S正五边形ABCDE ＝S梯形ABME ＋S矩形EMCD ＝１２ × (４＋１０)×６＋ ２×１０＝６２(m２); (