5.2.1基本初等函数的导数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1　基本初等函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 问题引入 用导数定义求函数的导数的步骤： ①求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 利用定义求函数的导数比较 麻烦，而基本初等函数是常 用函数，我们是不是可以利 用定义求出它们的导数，然 后作为公式直接使用？ 新知探索 基本初等函数的导数 问题1 请利用定义计算 的导数？ 答案 y′. 新知探索 基本初等函数的导数 一、常见函数的导数： (1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)； (2)C′＝0(C为常数)； (3)(x)′＝1； (4)(x2)′＝2x； (5)(x3)′＝3x2； (6)′＝－； (7)()′＝. 新知探索 基本初等函数的导数 二、基本初等函数的导数： (1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)； (2)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)； (3)(ex)′＝ex； (4)(loga x)′＝loga e＝ (a>0，且a≠1)； (5)(ln x)′＝ ； (6)(sin x)′＝cos x； (7)(cos x)′＝－sin x. 典例精析 题型一：导数的计算 例1　求下列函数的导数. (3)y＝lg x； 解　(1)y′＝0; ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 典例精析 题型一：导数的计算 反思与感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导. 如y＝可以写成y＝x－4，y＝ 可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误. 典例精析 题型二：求函数在某一点处的导数 例2 已知 f (x) = cosx，g (x) = x，求适合 f ' (x)＋g'(x) ＝ 0 的 x 的值． 解 f ' (x)=sinx， g '(x)=1， 则−sinx+1=0，sinx=1，即sinx=1， ∴x=2kπ+（k∈Z）， 所以 x 的值满足. 典例精析 题型二：求函数在某一点处的导数 反思与感悟　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简， 然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解． 典例精析 题型三：利用导数求切线 y－1＝－(x－1)， 其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)， 典例精析 题型三：利用导数求切线 反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的 导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立 方程解决. 跟踪练习 √ 1.下列函数求导运算正确的个数为( ) 解析　①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确. A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪练习 2.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 √ 跟踪练习 3.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ . 1 跟踪练习 4.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 . 解析　设切点坐标为(x0，y0)， 切线的斜率为 ＝ ， 又y0＝ ， ② 由①②可得x0＝1， ∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e. (1，e) e 课堂小结 基本初等函数的导数 导数公式 的计算 导数公式 的应用 利用导数 求切线 本 课 结 束 ②求平均变化率＝ ； ③求极限 . (2)y′＝xln＝－xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝＝ ∴y′＝( )′＝ ＝. (1)y＝sin ； (5)∵y＝2cos2－1＝cos x， (2)y＝x； (4)y＝； (5)y＝2cos2－1. 即y＝x＋与y＝－x＋2. 所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－(－1)|＝. 例3　已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线， 求两切线与x轴所围成的三角形面积. 解　由得得两曲线的交点坐标为(1,1). 两条曲线切线的斜率分别为f′(1)＝，g′(1)＝－1. 易得两切线方程分别为y－1＝(x－1)， ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③＝x；④若y＝，则＝－. 解析　设切点坐标为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x＝1， ∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条. 解析　f′(x)＝2x，g′(x)＝， f′(x)－g′(x)＝1，即2x－＝