第十章 第五节 离散型随机变量的分布列及数字特征（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第五节　 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）. 知识梳理 1．离散型随机变量 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，x3，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，3，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi>0(i＝1，2，…，n…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1． 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).反映了离散型随机变量X取值的平均水平． (2)方差 称DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量的X的标准差，记为σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aEX＋b． (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b为常数). 学霸笔记 1．期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． 2．EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态． 3．EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加． 进阶诊断 1．判断正误 (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　√　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　×　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　√　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　√　　) 2．某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为 X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中8环或以上环数为合格，那么他一次射击成绩合格的概率是(　　) A．0.35 B．0.20 C．0.55 D．0.80 答案；D 3．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则DX的值为________． 答案：0　解析：因为P(X＝c)＝1， 所以EX＝c×1＝c， 所以DX＝(c－c)2×1＝0. 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示． X 0 1 2 P 0.64 1－2q q2 则(1)常数q＝________； (2)EX＝________． 答案：(1)0.4　(2)0.52 5．某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该学生取得A等级的课程数，则ξ的数学期望Eξ的值为________． 答案： 考点1　离散型随机变量的分布列及性质　　　　　　　　　　　自主练通 1．(多选)(2023·深圳模拟)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．a＝ B．P＝ C．P＝ D．P(ξ＝1)＝ AB　解析：对于选项A， ∵随机变量ξ的分布列为 P＝ak(k＝1，2，3，4，5)， ∴P＋P ＋P＋P＋P(ξ＝1) ＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1， 解得a＝，故A正确； 对于B，易知 P＝P＝3×＝，故B正确； 对于C，易知 P＝P＋P ＝＋2×＝，故C错误； 对于D，易知P(ξ＝1)＝5×＝，故D错误． 2．随机变量X的分布列为 X 0 1 m P n 且EX＝1.1，则DX＝________． 答案：0.49 3．已知X的分布列如下： X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，EY＝，则a＝________． 答案：4 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注