第九章 第二节 用样本估计总体的数字特征（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

第二节　 能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述． 理解集中趋势参数的统计含义；理解离散程度参数的统计含义；能用样本估计总体的取值规律；理解百分位数的统计含义． 知识梳理 1．百分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. 2．平均数、中位数和众数 (1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3．方差和标准差 (1)方差：s2＝(xi－)2或s2＝－2. (2)标准差：s＝. 学霸笔记 巧用三个有关的结论 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a； (2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变； (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 进阶诊断 1．判断正误 (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　√　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.(　　×　　) (3)在一组数据中，总体的中位数也是它的50%分位数．(　　√　　) 2．(多选)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出可能出现点数6的有(　　) A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 答案：ABD 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．众数可以准确地反映出总体的情况 B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 CD　解析：对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误； 对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误； 对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确； 对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确． 4．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　　) A．5，2　　　　　　 B．16，2 C．16，18 D．16，9 答案：C 5．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15, 17，17，18，18，则该组数据的75%分位数为________． 答案：14.5　解析：∵75%×20＝15， ∴75%分位数为＝14.5. 6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示．假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为________．(用“<”连接) 答案：n<m< 考点1　百分位数的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 根据表或图，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数． 分组 频数累积 频数 频率 [1.2，4.2) 23 0.23 [4.2，7.2) 32 0.32 [7.2，10.2) 13 0.13 [10.2，13.2) 9 0.09 [13.2，16.2) 9 0.09 [16.2，19.2) 5 0.05 [19.2，22.2) 3 0.03 [22.2，25.2) 4 0.04 [25.2，28.2] 2 0.02 合计 100 1.00 解：由题表可知，月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为23%＋32%＋13%＋9%＝77%. 在16.2 t以下的居民用户所占的比例为77%＋9%＝86%.因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内． 由13.2＋3×＝14.2， 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.类似地，由22.2＋3×＝22.95， 可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列