第03讲 矩形的性质-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第03讲 矩形的性质 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理. 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 考点一：矩形性质的判定 一、单选题 例1．关于矩形的性质、下面说法错误的是（    ） A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的两组对边分别相等 C．矩形的两组对边分别平行 D．矩形的对角线互相垂直平分且相等 例2．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（    ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 例3．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用矩形的性质求线段长 例4．矩形中，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例5．如图，矩形ABCD的对角线，则BD的长为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 例6．矩形的一条边长是a，两条对角线的夹角为，则矩形的另外一条边长等于（    ） A． B． C． D． 例7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．3 B． C．3 D． 例8．如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作的垂线分别交于E，F两点，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C． D． 例9．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，，且，则的长度是（　　） A． B．2 C．8 D． 例10．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为（　　） A．22 B．24 C．25 D．26 例11．如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（　　） A． B． C． D． 考点三：利用矩形的性质求角度 例12．如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（    ） A． B． C． D． 例13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 例14．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 例15．如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(    ) A．110° B．115° C．120° D．125° 例16．若矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线相交所成的锐角是（ ） A． B． C． D． 例17．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（    ） A．36° B．30° C．27° D．18° 例18．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例19．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则的度数为（　　） A． B． C． D．不能确定 例20．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例21．如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例22．如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点四：利用矩形的性质求面积 例23．矩形的对角线长为10，两邻边之比为，则矩形的面积为（    ） A．48 B．24 C．50 D．以上答案都不对 例24．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是cm，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 例25．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 例26．如图，四边形和四边形是两个矩形，点在边上，若，，