三、 第12章 整式的乘除-2023年八年级下册初二数学【暑假复习培优】华东师大版

第 一 部 分 夯 实 基 础 第12章 整式的乘除 1.整式的有关概念:(1)单项式:数或字 母的 叫做单项式,单独的一个 或一个 也是单项式;(2)多项 式:几个单项式的 叫 做 多 项 式; (3)整式: 和 统称整式. 2.同类项:所含字母 ,并且 字母的次数也 的项叫做同 类项,几个 项也是同类项.合并同类 项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合 并同类项. 3.整式的加减:几个整式相加减,通常 用括号把每一个整式括起来,再用加减号连 结,然后去 ,合并 . 4.幂的有关运算性质 (1)同底数幂的乘法:am·an= (m,n 都是正整数). (2)幂的乘方:(am)n= (m,n 都是正整数). (3)积的乘方:(ab)n= (n 为正 整数). (4)同底数幂的除法:am÷an= (a≠0,m,n 都是正整数,并且m>n).特别 地,当m=n 时,得a0= (a≠0). 5.整式的乘法:(1)单项式与单项式相 乘:把它们的 、 分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母,则连同 它的 作为积的一个因式.(2)单项式 与多项式相乘:就是用单项式去乘多项式的 ,再把所得的 相加.(3)多 项式 与 多 项 式 相 乘:先 用 一 个 多 项 式 的 乘另一个多项式的 ,再把 所得的积相 . 6.乘法公式:(1)平方差公式:(a+b)(a -b)= ;(2)完全平方公式:(a+ b)2= ,(a-b)2= . 7.整式的除法 (1)单项式相除:把 与 分别相除作为商的因式,对于只在被除式里 含有的字母,则连同它的 作为商的 一个因式. (2)多项式除以单项式:先把这个多项式 的 除以这个单项式,再把所得的 相 . 8.因式分解:把一个多项式化成几个 的 的形式,这种式子的变 形叫做把这个多项式因式分解. 9.因式分解的基本方法:(1)提 法;(2)运用 法,常用公式有:a2-b2= ,a2+2ab+b2= ,a2-2ab+ b2= . 例1 已知10a=5,10b=6,求102a+3b 的值. 解析:从 问 题102a+3b 入 手,不 难 发 现 102a+3b=(10a)2·(10b)3,利用整体代入,很 容易将问题解决. 解:102a+3b=(10a)2·(10b)3=52×63 =5400. 点评:注意掌握幂的性质逆向应用的 方法. 例2 计算:82×42013×(-0.25)2015. 01 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:利用积的乘方性质(ab)n=anbn, 从右到左运用,往往能简化运算,当指数不同 时,要利用幂的乘方的性质化为同指数. 解:82×42013×(-0.25)2015=(23)2× 42013 × (-0.25)2015 = (22)3 × 42013 × (-0.25)2015=43×42013×(-0.25)2015=4× 42015×(-0.25)2015=4×(-0.25×4)2015=-4. 点评:本题将不同底数8、4、-0.25化成 相同的底数,然后重新组合逆用积的乘方性 质进行计算. 例3 若(x2+px+8)(x2-3x+q)的 积中不含x2与x3项,求p,q的值. 解析:让积中的x2项、x3项的系数等于 0,这样,我们会得到一个含p,q 的二元一次 方程组,解方程组即可求出p,q. 解:(x2+px+8)(x2-3x+q) =x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+ 8x2-24x+8q =x4+(p-3)x3+(q-3p+8)x2+(pq -24)x+8q. 根据题意,得 p-3=0, q-3p+8=0.{ 解这个方程 组得p=3,q=1. 点评:两个多项式相乘后的积中不含某 一项,即该项系数为零. 例4 计算:[(-3a3x)2·x3+ 1 5a 2· (3ax2)3·5a]÷ 3 5ax 2. 解析:这个算式是两个单项式乘积的代 数和,再除以一个单项式.可以先做单项式的 乘法,把 问 题 归 结 为 多 项 式 除 以 单 项 式 的 运算. 解:原式=(9a6x2·x3+ 1 5a 2·27a3x6 ·5a)÷ 3 5ax 2=(9a6x5+27a6x6)÷ 3 5ax 2 =15a5x3+45a5x4. 点评:本题是关于几个单项式的混合运 算,计算时要注意运算顺序和运算法则的 运用. 例5 分解因式:2(x-2y)3-2x+4y. 解析:代数式不能直接应用平方差公式 来分解,需要多观察,