1.2矩形的性质与判定-【高效导学】2023-2024学年九年级数学上册同步题型讲与练（北师大版）

1.2矩形的性质与判定 导图先学 边讲边练 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 题型1：矩形的性质 【例】（2023春•北辰区期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对角线平分对角 C．对角线互相平分 D．对角相等 【变式1】（2023春•和平区校级期中）下列说法中正确的是　　 A．有两个角为直角的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【变式2】（2023春•宁波期中）矩形一定具有的性质是　　 A．邻边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分每一组对角 【变式3】（2023春•香坊区校级期中）平行四边形没有而矩形具有的性质是　　 A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角相等 题型2：根据矩形的性质求长度 【例】（2023春•天津期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（2023•南开区一模）如图，矩形的顶点的坐标为，则长为　　 A． B． C．5 D．4 【变式2】（2023春•和平区校级期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为　　 A．3 B．4 C．5.5 D．6.5 【变式3】（2022春•西青区期末）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为　　 A．10 B． C． D．14 题型3：根据矩形的性质求面积 【例】（2022春•和平区校级期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为　　 A．10 B．12 C．16 D．18 【变式1】（2023春•河东区期中）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于点、，如果矩形的两邻边长分别是5，8，那么阴影部分的面积是　 　． 【变式2】（2023春•北辰区期中）已知：矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，则矩形的面积等于　 　． 【变式3】（2023春•和平区校级期中）矩形的对角线交点为，过作分别交、于、． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 题型4：根据矩形的性质求角度 【例】（2023春•北辰区期中）如图，矩形的对角线相交于点，平分交于，若，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•赣榆区期中）如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•高明区二模）矩形和直角三角形的位置如图所示，点在上，点在上，若，则等于　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在矩形中，、为上一点，，，连接、，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 题型5：根据矩形的性质求坐标 【例】（2023春•河北区期中）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023春•西青区期中）如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•金东区二模）如图，将5个大小相同的长方形置于平面直角坐标系中，若顶点，，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式3】长方形，，四个内角均为中，三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 题型1：根据直角三角形斜边中线的性质求长度 【例】（2023春•南宁期中）如图，在中，，点为的中点，若，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，，，，是边的中点，则线段的长为　　 A．5 B．3 C． D．4 【变式2】（2023