10.4 二项式定理-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法． (3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法， 根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝CC×22＝1440(种)． 10．4　二项式定理 [知识点一]　二项式定理　 1．二项式定理：(a＋b)n＝　Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)　. 2．展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的　二项展开式　，展开式中一共有　(n＋1)　项． 3．二项式系数：　C(k＝0,1,2，…，n)　. [知识点二]　二项展开式的通项　 1．(a＋b)n的通项：(a＋b)n展开式中第k＋1项Tk＋1＝　Can－kbk(k＝0,1,2，…n)　称为二项展开式的通项公式． 2．(a－b)n的通项：将－b看成b代入二项式定理中，得到(a－b)n，展开式中第k＋1项Tk＋1＝　(－1)kCan－kbk　. [知识点三]　二项式系数的性质　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (2)二项式6的展开式的第二项系数是C.(　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (4)若(x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为0.(　　) (5)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　) (6)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2.8的展开式中常数项为(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D．105 解析：B　[二项展开式的通项为 Tk＋1＝C()8－k·k＝kCx4－k， 令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝4C＝.] 3．若(x＋1)n的展开式共有12项，则n＝(　　 ) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：A　[由二项式定理知展开式共有n＋1项，所以n＋1＝12，即n＝11.故选A.] 4．(2－x)5的展开式中x的系数为　________　. 解析：(2－x)5的展开式中x的系数为C×24×(－1)＝－80. 答案：－80 5．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝　________　. 解析：(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r，令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意，得9C＝54，解得n＝4. 答案：4 6．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为　________　. 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1 二项式定理的展开式 [例1]　(1)求(x＋2y)4的展开式． (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. [解]　(1)(x＋2y)4＝Cx4＋Cx3(2y)＋Cx2(2y)2＋Cx(2y)3＋C(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 1．形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提． 2．逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，a，b的指数和都相等，如果项的系数是正负相间，则是(a－b)n的形式． 1．(1)求4的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解析：(1)直接利用二项式定理展开并化简：4＝C(2)40＋C(2)3·＋C·(2)2·2＋C(2)1·3＋C·(2)0·4＝16x2＋32x＋24＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 求二项展开式的特定项 [例2]　已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项． [解析]　(1)因为T3＝C()n－22＝，T2＝C()n－1＝ 依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x3项，则Tk