9.1 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 9．1　空间几何体的表面积与体积 [知识点一]　空间几何体的结构特征　 [知识点二]　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式　 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝　2πrl　 S圆锥侧＝　πrl　 S圆台侧＝　π(r＋r′)l　 [知识点三]　空间几何体的表面积与体积公式　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝　S底h　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝　S底h　 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝　4πR2　 V＝　πR3　 [基础自测] 1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　) (4)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　) (5)菱形的直观图仍是菱形．(　　) (6)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(2021·全国)已知等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其中一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体的体积为(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：A　[由题意可知，所得几何体为圆锥，其体积V＝×π×22×2＝.故选A.] 3．(2023·重庆市合川实验中学高二月考)已知某正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　) A．48　　B．64　　　C．16　　　D．96 解析：B　[由题意，若正方体的棱长为a，则6a2＝96，可得a＝4. ∴正方体的体积为a3＝64.故选B.] 4．(2023·山西高一期中)已知一个圆锥的母线长为2，其母线与底面所成的角为45°，则这个圆锥的体积为(　　) A．4π B．8π C. D. 解析：D　[由题得底面圆的半径r＝2cos 45°＝2，高h＝＝2， 故圆锥的体积V＝πr2h＝.故选D.] 5．(2020·春招，22)已知球的直径为2，则该球的体积是　________　. 解析：∵2R＝2，∴R＝1，∴V球＝. 答案： 6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是　________　. 解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120， 所以VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10. 答案：10 　　空间几何体的表面积 [例1]　(2023·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4　　　　　 B．4＋4 C．12 D．8＋4 [解析]　连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4，故选A. [答案]　A 三类几何体表面积的求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． 求不规则几何 体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 1．(2021·春招，22)已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该正四棱锥的表面积等于　________　. 解析：设侧面的高为h，则h＝＝， ∴S表＝S底＋S侧＝1×1＋4×××1＝1＋. 答案：1＋ 空间几何体的体积 [例2]　(2023·贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1－AEF的体积为2，则四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为(　　) A．12　　B．8　　　C．20　　　D．18 [解析]　A　[设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1－AEF＝VF－A1AE.又VF－A1AE＝S△A