9.5 空间线、面垂直的判定及性质-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

又因为B1C1∥BC，所以DE//BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝＝4(cm)，所以截面 BCED的面积为S＝×(4＋8)×4＝24(cm2)． 答案：24 4．(2023·全国高三专题练习)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 解析：(1)如图所示，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB， 又因为SB⊂平面BDD1B1，且EG⊄平面BDD1B1， 所以EG∥平面BDD1B1. (2)如图所示，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD， 又因为SD⊂平面BDD1B1，且FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1， 又由EG∥平面BDD1B1，EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1. 答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析 9．5　空间线、面垂直的判定及性质 [知识点一]　直线与平面垂直的定义　 定义 如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫作平面α的　垂线　，平面α叫作直线l的　垂面　，它们唯一的公共点P叫作　垂足　 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 图示 性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段与 点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离 [知识点二]　直线与平面垂直的判定定理　 文字语言 如果一条直线与一个平面内的　两条相交直线　垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，　a∩b＝P　⇒l⊥α 图形语言 [知识点三]　直线和平面所成的角　 斜线 一条直线l与一个平面α　相交　，但不与这个平面α　垂直　，图中直线PA 斜足 斜线和平面的　交点　，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　垂线　PO，过　垂足　O和　斜足　A的直线AO叫作斜线在这个平面上的射影 直线和 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　90°　；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是　0°　 图示 取值范围 [0°，90°] [知识点四]　直线与平面垂直的性质定理　 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　平行　 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒　a∥b　 图形语言 作用 线面垂直⇒线线平行 [知识点五]　二面角　 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． 如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q 范围 　0°≤θ≤180°　 [知识点六]　二面角的平面角　 文字 语言 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角 图形 语言 符号 语言 α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角 思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ 提示：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． [知识点七]　平面与平面垂直及判定定理　 定义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β 画法 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图： 判定 定理 文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： [知识点八]　平面与平面垂直的性质定理　 文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号 语言 　 图形 语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直　②作面的垂线 [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　) (2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　) (3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．(　　) (4)若直线a∥平面