9.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵E，F分别是棱CC1，AA1的中点， DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行，∴在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA， 则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P， ∴P∈AD，P∈D1F， ∵DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F， ∴P∈平面ABCD，P∈平面BED1F， 即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点， 又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，连接PB， ∴直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线． (2)证明：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵BB1∥DD1，且BB1＝DD1， ∴四边形BB1D1D为平行四边形， ∵H为直线B1D与平面BED1F的交点， ∴H∈B1D，又∵B1D⊂平面BB1D1D， ∴H∈平面BB1D1D， 又∵H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，∴H∈BD1，∴B，H，D1三点共线． 9．3　空间点、直线、平面之间的位置关系 [知识点一]　公理4　 1．平行于同一条直线的两条直线　平行　.这一性质通常叫作平行线的　传递性　. 符号表示：⇒a∥c. 2．定理 文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　相等　或　互补　 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 [知识点二]　空间中直线与直线的位置关系　 两直线的三种位置关系： 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面直线 相交直线 　是　 1 平行直线 　是　 0 异面直线 　否　 0 [知识点三]　异面直线　 1．异面直线的定义和画法： (1)定义：　不同在任何一个平面内　的两条直线叫作异面直线． (2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个　平面　衬托． 2．异面直线所成的角： (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线　a′　与　b′　所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成角的范围为(0°，90°]． (3)空间两直线垂直 如果两条异面直线所成的角是　直角　，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作　a⊥b　. [知识点四]　空间中直线与平面的位置关系　 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 　无数个　公共点 　一个　公共点 　没有　公共点 符号 表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 [知识点五]　空间中平面与平面的位置关系　 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平 面平行 　α∥β　 没有 公共点 两个平 面相交 　α∩β＝l　 有一条公 共直线 [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在空间中，直线不平行就意味着相交．(　　) (2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．(　　) (3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．(　　) (4)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．(　　) (5)如果两个角相等，则它们的边互相平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　 ) A．30°　　　　 B．150° C．30°或150° D．大小无法确定 解析：C　[两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.] 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为　_______　. 解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°. 答案：65° 4．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　 ) A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 解析：D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．] 5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　 ) A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 解析：D　[直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a∩α.] 6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是　________　. 解析：当这两点在α的同侧时，l与α