8.1 直线及其方程-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 8．1　直线及其方程 [知识点一]　直线的倾斜角和斜率　 1．直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取　x轴　作为基准，x轴　正向　与直线l　向上　方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角． 直线的倾斜角α的取值范围是{　α|0°≤α＜180°　}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为　0°　. 注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． 2．斜率的概念及斜率公式： 定义：倾斜角α(α≠90°)的　正切值　. 记法：k＝　tan_α　. 3．斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝　90°　 90°<α<180° 斜率(范围) 　k＝0　 　k>0　 不存在 　k<0　 k的增 减情况 k随α的增 大而增大 k随α的增 大而增大 其对应情况如下表所示. 斜率k 0 1 不存在 － －1 － 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 由上表可见，当直线的斜率k＝0，±，±1，±或斜率k不存在时，其倾斜角均是特殊角． 4．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ 　　. 注意：当x1＝x2时，斜率不存在． [知识点二]　直线的方向向量和法向量　 1．直线的方向向量：与直线l平行的非零向量，叫作直线l的　方向向量　，通常用ν表示． 方向向量不是唯一的．若ν＝(ν1，ν2)是直线的一个方向向量，则　tν(t≠0，t∈R)　也是这条直线的一个方向向量． 2．直线的法向量：与直线l垂直的非零向量，叫作直线l的　法向量　，通常用n表示． 法向量也不唯一，同一直线的两个法向量互相　平行(共线)　. [知识点三]　直线的点向式方程和点法式方程　 1．直线的点向式方程：过点P(x0，y0)且方向向量ν＝(ν1，ν2)的直线方程为：　ν2(x－x0)－ν1(y－y0)＝0　. 如果ν1≠0，ν2≠0则方程可写成＝(ν1≠0，ν2≠0)．若ν1＝0，此时直线垂直于x轴，直线方程为　x＝x0　；若ν2＝0，此时直线垂直于y轴，直线方程为　y＝y0　. 2．直线的点法式方程：过点P(x0，y0)且法向量n＝(A，B)的直线方程为：　A(x－x0)＋B(y－y0)＝0　.也用待定系数法设为Ax＋By＋D＝0的形式． 若直线的法向量为n＝(A，B)，则向量ν＝　(－B，A)　是直线的一个方向向量． [知识点四]　直线的点斜式方程和斜截式 方程、一般式方程　 1．直线的点斜式方程和斜截式方程： 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和　斜率k　 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用条件 斜率存在 斜率存在 2.直线l的截距： (1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的　纵坐标b　. (2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的　横坐标a　. 3．直线的一般式方程： 形式 　Ax＋By＋C＝0　 条件 A，B　不同时为0　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　) (2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　) (3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.] 3．直线l的一个方向向量n＝(2，－1)，则它的斜率为(　　) A．－ B. C．2 D．－2 答案：A 4．直线x－3＝0的一个法向量是(　　) A．(1，－3) B．(1,0) C．(－3,1) D．(0,1) 答案：B 5．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　 ) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析：A　[由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.] 6．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　________　. 解析：当纵、横截距均为0时，直