8.7 抛物线-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

8．7　抛物线 [知识点一]　抛物线的定义　 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　相等　的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的　焦点　，直线l叫作抛物线的　准线　. [知识点二]　抛物线的标准方程　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) 　F　 　x＝　 x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) 　F　 　y＝　 [知识点三]　抛物线的几何性质　 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 　x轴　 　y轴　 顶点 　(0,0)　 离心率 e＝　1　 [知识点四]　焦点弦　 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝　x1＋x2＋p　. [知识点五]　直线与抛物线的位置关系　 直线与抛物线有三种位置关系：　相离　、　相切　和　相交　. 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有　一个　交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线　相交　⇔有　两个　公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线　相切　⇔只有　一个　公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线　相离　⇔　没有　公共点． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线的焦点到准线的距离是p.(　　) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (3)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．(　　) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　) (5)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.(　　) (6)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)× 2．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　 ) A．抛物线　　　　　　 B．线段 C．直线 D．射线 解析：A　[动点P的条件满足抛物线的定义．] 3．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　 ) A．y2＝－2x B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y 解析：B　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax， 则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.] 4．已知抛物线C∶y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　 ) A．1　　B．2　　　C．4　　　D．8 解析：A　[由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．] 5．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝　________　，准线方程为　________　. 解析：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为， ∴＝1，∴p＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1. 答案：2　x＝－1 6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝ 　________　. 解析：因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案：8 求抛物线的标准方程 [例1]　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. [解析]　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这