7.1 任意角的概念与弧度制-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 7．1　任意角的概念与弧度制 [知识点一]　任意角　 1．角的概念：角可以看成平面内一条　射线　绕着它的端点　旋转　 所成的　图形　. 2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：　OA　，终边：　OB　 ，顶点　O　. 3．角的分类 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按　逆时针　方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按　顺时针　方向旋转形成的角 零角 一条射线　没有　做任何旋转形成的角 [知识点二]　角的加法与减法　 设α，β是任意两个角，　－α　为角α的相反角． 1．α＋β：把角α的　终边　 旋转角β. 2．α－β：α－β＝　α＋(－β)　. [知识点三]　象限角　 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与　原点　重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的　终边　在第几象限，就说这个角是第几　象限角　；如果角的终边在　坐标轴上　 ，就认为这个角不属于任何一个象限． [知识点四]　终边相同的角　 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [知识点五]　度量角的两种制度　 1．角度制：用度作为单位来度量角的单位制，1度角等于周角的　　 2．弧度制：用弧度作为单位来度量角的单位制，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作　1弧度的角　 [知识点六]　角度与弧度的互化　 180°＝ 　π　 rad 1°＝ 　　rad；1 rad＝(　　)° [知识点七]　弧度制下的弧长与扇形面积公式　 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ 　|α|R　 (2)面积公式：S＝　lR　＝　αR2　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第二象限角是钝角．(　　) (2)终边与始边重合的角为零角．(　　) (3)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (5)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (6)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ 2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　 ) A.π　　　　　 B.π C.π D.π 解析：A　[240°＝240× rad＝πrad， ∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A.] 3．(1)化为角度是　________　. (2)105°的弧度数是　________　. 答案：(1) 252°　(2) 4．－π是第　________　象限的角． 答案：三 5．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为　________　. 解析：由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋π. 答案：－10π＋π 6．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． 解析：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α， 则2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式S＝ lR，得lR＝1.② 由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad. 任意角的概念 [例1]　 (多选)下列说法，不正确的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 [解析]　ACD　[A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确； B中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中，钝角是大于90°而小于180°的角，而－100°的角是第三象限角，二者没有可比性，故C不正确；D中，零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．] 象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 1．(2020·春招，21)已知α∈，若sin α＝0.8，则α＝　________　rad. 解析：sin α＝0.8＝，又∵α∈， ∴α＝arcsin ≈53°＝π. 答案：π 象限角及区域角的表示 [例2]　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200°　　　　　 B．100° C．220° D．420° (2)如图所示．①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；②