7.8 倍角公式及简单三角恒等变换-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

所以0＜A－B＜，A－B＝，又A＋B＝，联立可得A＝. 7．8　倍角公式及简单三角恒等变换 [知识点一]　二倍角公式　 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝　2sin_αcos_α　 S2a 余弦 cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝　2cos2_α－1＝1－2sin2_α　 C2a 正切 tan 2α＝　　 T2a 知识点二　辅助角公式 asin x＋bcos x＝　sin(x＋θ)　. [知识点三]　公式的常用变形　 (1)tan α±tan β＝　tan(α±β)(1∓tanαtanβ)　. (2)cos2α＝，sin2α＝. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，sin α±cos α＝sin. (4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝(a≠0)． 备注：辅助角公式中常用到的几组特殊三角数，例如1、、2,3、4、5,5、12、13等 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos ＝.(　　) (2)存在α∈R，使得cos＝cos α.(　　) (3)对于任意α∈R，sin＝sin α都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，则tan＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2023·北京市第五中学)sin 15°cos 15°＝(　　) A.　B．－　C.　　D．－ 解析：A　[sin 15°cos 15°＝sin 30°＝×＝，故选A.] 3．(2021·春招，6)角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－1,2)，则sin 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：C　[角α的终边过P(－1,2)，可知sin α＝，cos α＝－，所以sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－，故选C.] 4．(2020·天津)设cos x＝－，则cos 2x＝(　　) A. B. C. D．－ 解析：D　[∵cos x＝－，∴cos 2x＝2cos2x－1＝22－1＝－1＝－，故选D.] 5．(2022·嘉兴市第五高级中学高一期中)2cos215°－1等于　________　. 解析：2cos215°－1＝cos 30°＝. 答案： 6．(2023·吉林长春十一高高二期中)化简求值：＝　________　. 解析：＝＝＝－2. 答案：－2 二倍角公式的正用、逆用 [例1]　求下列各式的值： (1)sin2π－cos2π； (2)； (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. [解析]　(1)原式＝－＝－cosπ＝－cos＝cos＝. (2)原式＝＝2×＝2×＝2. (3)原式＝＝＝＝＝＝. 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 1．已知tan α＝－3，则＝(　　 ) A．3　B.　　C．－　　D．－3 解析：C　[＝＝＝＝－.故选C.] 给值求值 [例2]　(1)已知sin＝，则sin 2α的值为(　　 ) A．－　B.　　C．－　　D. (2)已知sin＝，那么 cos等于(　　 ) A．－ B．－ C. D. [解析]　(1)∵2α＝2－，∴sin 2α＝sin＝－sin＝ －cos2＝－＝－＝－. (2)∵＋2α＝π－2，∴cos＝cos＝－cos 2＝ －＝－＝－. [答案]　(1)C　(2)A 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 2．已知sin＝，0<x<，求的值． 解析：原式＝＝＝2sin. ∵sin＝cos＝，且0＜x＜，∴＋x∈，∴sin＝＝，∴原式＝2×＝. 化简与证明 [例3]　(1)化简： (2)求证：＝tan4A. [解析]　(1)原式＝＝＝＝＝－4. (2)因为左边＝＝2＝2＝(tan2 A)2＝tan4 A＝右边，所以＝tan4 A. 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“