7.3 同角三角函数的基本关系式-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

所以α是第四象限角． (2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－， sin α＝＝＝＝－. 7．3　同角三角函数的基本关系式 [知识点一]　平方关系　 sin2 α＋cos2 α＝1，其中α∈R. 变式：sin2 α＝　1－cos2_α　，cos2 α＝　1－sin2_α　， 1＝　sin2_α＋cos2_α　 [知识点二]　商值关系　 tan α＝，其中α≠＋kπ，k∈Z. 变式：sin α＝　tan_α_cos_α　，cos α＝　　. 注意： ①同角；②式子必须有意义；③重要思想：三角函数知一求二，切化弦． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　) (3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．sin2 2023°＋cos2 2023°＝　________　. 解析：sin2 2023°＋cos2 2023°＝1. 答案：1 3．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　　 ) A.　B．－　　C.　　D．－ 答案：B 4．若sin α＝，<α<π，则tan α＝　________　. 答案：－ 5．化简：＝　________　. 答案：－cosα 6．已知tan α＝2，则的值为　________　. 解析：原式＝＝＝3. 答案：3 　　　利用同角三角函数基本关系式求值 [例1]　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值． [解析]　因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2 α＋cos2α＝1得cos2 α＝1－sin2α＝1－2＝. 如果α是第三象限角，那么cos α＝－＝－，从而tan α＝＝×＝. 如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－. 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 1．已知cos α＝－，且α为第二象限角，则tan α＝(　　 ) A．－ B．－　 C．－　 D．－ 解析：A　[由题意得sin α＝＝，所以tan α＝＝＝－.故选A.] 三角函数式化简、求值及证明 [例2]　已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)； (2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. [解析]　(1)原式＝＝. (2)原式＝＝＝＝. [例3]　(1)化简：； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α. [解析]　(1)原式＝＝＝＝1. (2)原式＝tan α＝tan α＝×，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝×＝×＝－1. [例4]　求证：＝. [解析]　由cos x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，于是 左边＝＝＝＝＝右边，所以，原式成立． 应用同角三角函数关系式化简、求值的方法 (1)①利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化． ②由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． (2)关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略． 已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值． 2．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)；(2)2sin2α－3sin αcos α. 解析：(1)原式＝＝＝＝－2＋. (2)原式＝＝＝＝＝. 3．化简：(1)； (2). 解析：(1)原式＝＝＝＝＝1. (2)原式＝＝＝cos θ. [基础题组练] 1．(2023·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　 ) A.　B．－　　C.　　D．－ 答案：D 2．已知α是第四象限角，sin α＝－，则cos α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：C 3．若C为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是(　　 ) A．sin C B．cos C C．tan C D. 解析：A　[由题意C∈(0，π)，故sin C＞0，cos C、tan C的符号不定，所以A为正值，B、C、D的符号不定．故选A.] 4．(2023·广东高三月考)若tan θ＝－2，