6.1 向量的概念及线性运算-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 6．1　向量的概念及线性运算 [知识点一]　元素与集合的相关概念　 1．向量的概念及表示： (1)概念：既有　大小　又有　方向　的量． (2)有向线段 ①定义：具有方向的线段． ②三个要素：　起点　、　方向　、　长度　. ③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作　　. ④长度：线段AB的　长度　也叫作有向线段的长度，记作　||　. (3)向量的表示 2．向量的有关概念： (1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的　长度　(或称模)，记作　||　. (2)零向量：长度为　0　的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于　1个单位长度　的向量． 3．两个向量间的关系： 平行向量：方向　相同　或　相反　的非零向量，也叫作　共线向量　.若a，b是平行向量，记作a∥b. 规定：零向量与任意向量　平行　，即对任意向量a，都有　0∥a　. [知识点二]　向量加法　 1．向量加法的定义及其运算法则： (1)定义：求　两个向量和　的运算，叫作向量的加法．两个向量的和仍然是向量． (2)三角形法则： 已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作　a＋b　，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形法则的关键是　首尾相连　，即＋＝，这里的B点具有任意性． (3)平行四边形法则： 以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫作向量加法的　平行四边形　法则． 运用平行四边形法则的关键是共起点，当两个向量共线时，不能用平行四边形法则． (4)对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0a＝a. 2．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系： (1)对于任意向量a，b，都有　||a|－|b||　≤|a＋b|≤　|a|＋|b|　； (2)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝　|a|＋|b|　； (3)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝　|b|－|a|　或　|a|－|b|　. 点拨：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论． 3．向量加法的运算律： (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [知识点三]　　 1．相反向量 定义 如果两个向量长度　相等　，而方向　相反　那么称这两个向量是相反向量 性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝　0　 ②若a、b互为相反向量，则a＝　b　，a＋b＝　0　 ③零向量的相反向量仍是零向量 推论 ① －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 2.向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝　　.如图所示 几何 意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的　终点　指向向量a的　终点　的向量 思考：已知不共线的两个向量a，b，那么a＋b与a－b的几何意义分别是什么？ 提示：如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛． 3．|a－b|与|a|，|b|之间的关系： (1)对于任意向量a，b，都有　||a|－|b||　≤|a－b|≤　|a|＋|b|　； (2)当a，b共线，且同向时，有|a－b|＝　||a|－|b||　； (3)当a，b共线，且反向时，有|a－b|＝　|a|＋|b|　. [知识点四]　　 1．向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念： 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个　向量　，这种运算叫作向量的数乘，记作　λa　，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝　|λ||a|　. ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ＜0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　. 注意：λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)向量数乘的运算律： 设λ，μ为实数，那么： ①λ(μa)＝　(λμ)a　. ②(λ＋μ)a＝　λa＋μa　. ③λ(a＋b)＝　λa＋λb　. (3)向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的　线性运算　.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　. 2．共线向量定理： (1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　. 注意：①定理中，向量