6.3 向量的数量积(内积)-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

解：(1)＝(－2,3)，＝(a－1，b－1)，因为A，B，C三点共线，所以向量与也共线，所以－2(b－1)＝3(a－1)，所以a与b满足的关系式为3a＋2b－5＝0. (2)由||＝2||，可得＝2，或＝－2，当＝2时，有(a－1，b－1)＝2(－2,3)⇒a＝－3，b＝7；当＝－2时，有(a－1，b－1)＝－2(－2,3)⇒a＝5，b＝－5；所以点C的坐标为(－3,7)或(5，－5)． 6．3　向量的数量积(内积) [知识点一]　两向量的夹角　 1．定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量a与b　同向　； ②当θ＝时，向量a与b　垂直　，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b　反向　. 2．注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． [知识点二]　向量的数量积　 已知两个　非零　向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的　数量积　(或　内积　)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为　0　. [知识点三]　向量数量积的性质　 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 1．a·e＝e·a＝　|a|cos θ　. 2．a⊥b⇔　a·b＝0　. 3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝　|a|2　，或|a|＝. 4．|a·b|≤|a||b|. 5．cos θ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角． [知识点四]　向量数量积的运算律　 已知向量a，b，c和实数λ，则 1．交换律：　a·b＝b·a　； 2．数乘结合律：　(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)　； 3．分配律：　(a＋b)·c＝a·c＋b·c　. 注意：(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． (3)推论：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. [知识点五]　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示　 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 数量积 两个向量的数量积等于它们　对应坐标的乘积之和　，即a·b＝　x1x2＋y1y2　 向量垂直 a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　 [知识点六]　与向量的模、夹角相关的三个重要公式　 1．向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　. 3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝　　 . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．(　　) (2)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　) (3)若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b.(　　) (4)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　　) (6)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，t)，且a·b＝0， 则|b|＝(　　 ) A.　B．2　　C．2　　D．5 解析：A　[由题意1×2＋2×t＝0，解得t＝－1，故|b|＝＝.故选A.] 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1， a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　 ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：B　[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.] 4．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝　________　. 解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2. 答案：2 5．已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝4，|b|＝，则|a－b|＝　________　. 解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝16＋3－2×4×cos＝7，∴|a－b|＝. 答案： 6．设向量a，b