6.2 平面向量的直角坐标及其运算-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

所以＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＋a ＝a＋b. (2)证明：由(1)知＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＝， 又与有公共点M，所以A，M，C三点共线． 6．2　平面向量的直角坐标及其运算 [知识点一]　平面向量的正交分解　 把一个向量分解为　两个互相垂直　的向量，叫作把向量正交分解． [知识点二]　平面向量的坐标表示　 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序实数对　(x，y)　叫作向量a的坐标，记作a＝　(x，y)　，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标． 在向量的直角坐标中i，j,0的坐标分别为i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． [知识点三]　平面向量的坐标运算　 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　； ②a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　； ③λa＝　(λx1，λy1)　. 2．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　终点　坐标减去　起点　坐标． 注意：(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)．(　　) (2)若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．(　　) (3)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则＝.(　　) (5)若A，B，C三点共线，则向量，，都是共线向量．(　　) (6)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量； ④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是(　　 ) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：C 3．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　 ) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案：C 4．已知O是坐标原点，点A在第二象限，|| ＝2，∠xOA＝120°，则向量的坐标为(　　 ) A．(－，3) B．(3，) C．(3，－) D．(－，－3) 答案：A 5．已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　 ) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(1,2) D．(－1，－2) 答案：C 6．若＝(1,1)，＝(0,1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：A　[＋＝＝－＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.] 平面向量的坐标表示 [例1]　分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标． [解析]　由题图可知 a＝2i＋3j＝(2,3)，b＝－2i＋3j＝(－2,3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)，d＝2i－3j＝(2，－3)． (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标． 1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|| ＝4，∠xOA＝60°. (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． 解析：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2， y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，＝(2，6)． (2)＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 平面向量的坐标运算 [例2]　已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b, a－b,3a＋4b坐标． [解析]　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)， ∴a＋b＝(2,1) ＋(－3,4)＝(－1,5)，a－b＝(2,1) －(－3,4)＝(5，－3)， 3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3,4)＝(6,3) ＋(－12,16)＝(－6,19)． (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 2．已知A(－