5.1 数列的概念与简单表示法-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 5．1　数列的概念与简单表示法 [知识点一]　数列　 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}_　. [知识点二]　通项公式　 1．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的　通项公式　. 2．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ [知识点三]　数列的分类　 1．按项数分类，项数有限的数列叫作　有穷　数列，项数无限的数列叫作　无穷　数列． 2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫作　递增数列　；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫作　递减数列　；各项相等的数列叫作　常数列　； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作　摆动数列　. [知识点四]　递推公式　 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫作这个数列的　递推公式　. 　递推公式　也是数列的一种表示方法． [知识点五]　数列的单调性　 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． 1．若an＋1－an　>　0恒成立，则数列{an}是递增数列； 2．若an＋1－an　<　0恒成立，则数列{an}是递减数列； 3．若an＋1－an　＝　0恒成立，则数列{an}是常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (5)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (6)所有数列都有递推公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 2．下列叙述正确的是(　　) A．所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B．数列中的数由它的位置序号唯一确定 C．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} D．同一个数在数列中不可能重复出现 解析：B　[按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念，C错误；同一个数在数列中可能重复出现，如2,2,2，…表示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中的数由它的位置序号唯一确定，B正确．] 3．数列{an}的通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，则a5＝(　　 ) A．10　　B．12　　　C．14　　　D．16 解析：B　[由题意，通项公式为an＝(n－1)(n＋1)， 则a5＝×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.] 4．已知数列的前几项是0、、、、…，写出这个数列的一个通项公式是　_________　. 解析：该数列的前四项可表示为 a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， 因此，该数列的一个通项公式为an＝(n∈N*)． 答案：an＝(n∈N*) 5．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　__________　，224是该数列的第　__________　项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项． 答案：99　15 6．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，则a3＝　__________　. 解析：由已知，得a2＝1＋＝2, a3＝1＋＝. 答案： 由数列的前几项求通项公式 [例1]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； [解析]　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝. 解决由数列的前几项求通项公式此类问题，需抓住下面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项． (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (4)拆项、添项后的特征． (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式． (1)