5.4 等差和等比数列的应用-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 5．4　等差和等比数列的应用 [知识点一]　数列应用题的解题步骤 　 解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为　数列模型　；②挖掘题目的条件，分析该数列是　等差　数列，还是　等比　数列，分清所求的是　项　的问题，还是　求和　问题．③检验结果，写出答案． [知识点二]　三种常见的应用模型　 1．①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部　本利和　，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)． ②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的　本利和　. ③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． 2．常用公式 ①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝　P(1＋r)n　. ②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝　N(1＋r)x　. ③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝　P(1＋nr)　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列．(　　) (2)“等额本息还款法”中，每一期还款数构成一个等比数列．(　　) (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．某件产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a，则现在的成本是(　　 ) A．a(1＋q%)3　　　　　 B．a(1－q%)3 C. D. 解析：C　[设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.] 3．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(　　) A. B．p%·q% C. D.－1 解析：D　[设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2. 于是r＝－1.] 4．预测人口的变化趋势有多种方法．直接推算法使用的公式是pn＝p0(1＋k)n(k>－1)，其中pn为预测期人口数，p0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k<0，那么在这期间人口数(　　) A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变 解析：B　[∵－1<k<0，∴0<k＋1<1，pn>0， 又∵＝＝1＋k<1，∴pn＋1<pn. 即数列{pn}为递减数列．] 5．自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还　________　元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约　__________　元．(1.0510≈ 1．628 89) 解析：如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000(元)．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)． 答案：29 000　25 901 6．某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金　________　万元． 解析：设第n年投入资金为an万元，由题意可知an＋1＝an(1＋30%)＝1.3an. ∴{an}为首项a1＝500，公比为1.3的等比数列， ∴S7＝＝(1.37－1)． 答案：(1.37－1) 等差、等比数列模型的应用 [例1]　一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度． (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？ (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由． [解析]　(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则 Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)＝－n2＋16n. 当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64. 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． (2)不能超过． 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列， 则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75. 所以，这个飞机模