5.3 等比数列-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

∴an＝a1·qn－1＝1×n－1＝2－1(n－1)＝2－n＋1. (2)∵bn＝log2an，∴bn＝log22－n＋1＝－n＋1，当n＝1时，b1＝0，当n＝2时，b2＝－1，当n＝3时，b3＝－2，∴数列为等差数列，∴S90＝90×0＋×(－1)＝－4005. 5．3　等比数列 [知识点一]　等比数列的有关概念　 1．定义： (1)文字语言：一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　比　都等于　同　一个常数(非零)． (2)符号语言：　　＝q(n∈N*，q为非零常数)． 2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么　G　叫作a与b的等比中项．即G2＝　ab　. [知识点二]　等比数列的有关公式　 1．通项公式：an＝　a1qn－1　. 2．前n项和公式：Sn＝ [知识点三]　等比数列的性质　 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) 1．若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝　ap·aq　＝　a　； 2．数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． [知识点四]　常用结论　 1．等比数列的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是　递增数列　； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是　递减数列　； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系： 当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上． 3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lg an}是等差数列．(　　) (4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (5)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　 ) A.　B．±2　　C．±　　D．2 解析：B　[设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±＝±2.] 3．(2020·春招，4)在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝－2，则a9等于(　　) A．256 B．－256 C．512 D．－512 解析：A　[∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝－2， ∴公比q＝＝－2，∴a9＝a1q8＝1×(－2)8＝256，所以选A.] 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：C　[由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.] 5．数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝　________　. 解析：因为a1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故＝2. 所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以＝126，所以2n＝64，故n＝6. 答案：6 6．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为　________　. 解析：设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3. 所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 答案：27,81 等比数列基本量的运算 [例1]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析]　(1)①当公比q＝1时， ∵a3＝，S3＝，∴an＝； ②当q≠1时， ∵a3＝，S3＝， ∴a1q2＝，＝， 解得a1＝6，q＝－， 此时an＝6·n－1. 综上所述，数列{an}的通项公式为 an＝或an＝6·n－1. (2)①当an＝时，bn＝log2＝2， 故Tn＝2n； ②当an＝6·n－1时， bn＝log2＝2n， 此时Tn＝2·＝n(n＋1)． 综上所述，Tn＝2n或Tn＝n(n＋1)． 等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首