5.2 等差数列-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

5．2　等差数列 [知识点一]　等差数列与等差中项　 1．定义： (1)文字语言：一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于　同　一个常数； (2)符号语言：　an＋1－an＝d　(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则　A　叫作a，b的等差中项． [知识点二]　等差数列的通项公式与前n项和公式　 1．通项公式：an＝　a1＋(n－1)d　. 2．前n项和公式：Sn＝　na1＋d＝　. [知识点三]　等差数列的性质　 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． 1．通项公式的推广：an＝am＋　(n－m)d　 (n，m∈N*)． 2．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则　ak＋al＝am＋an　. 3．若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为　2d　. 4．若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是　等差　数列． 5．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成　等差　数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　) (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　) (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　 ) A．22　B．24　　C．26　　D．28 解析：D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.] 3．等差数列{an}中，已知a3＝1，a9＝7，则公差d＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　[因为等差数列{an}中，a3＝1，a9＝7，所以， 解得，故选A.] 4．在等差数列{an}中，已知a2＝2，前7项和S7＝56，则公差d＝(　　 ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：B　[由题意可得 ，即， 解得.] 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为　________　. 解析：因为an＋1－an＝3，n∈N*，所以数列{an}是公差为3的等差数列，又因为a1＝2，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1. 答案：an＝3n－1 6．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝　________　. 解析：由等差数列的性质可得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， 又因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 所以5a5＝450，a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180. 答案：180 等差数列的基本运算 [例1]　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－3＝an，若an＝2020，则n＝(　　 ) A．671　B．672　　C．673　　D．674 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n [解析]　(1)∵a1＝1，an＋1－3＝an，∴an＋1－an＝3，∴数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝2020，解得n＝674.故选D. (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为，所以，解得，所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A. 法二：设等差数列{an}的公差为d， 因为，所以，解得. 选项A，a1＝2×1－5＝－3； 选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 选项C，S1＝2－8＝－6，排除C； 选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A. [答案]　(1)D　(2)A 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．(2023·惠州市第二次调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则S5＝(