4.1 实数指数-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

千米/时．研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．求 (1)当20≤x≤200时，函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时) 解析：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b. 再由已知得，解得. 故函数v(x)的表达式为v(x)＝， (2)依题意并由(1)可得f(x)＝， 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋， 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 思维导图 4．1　实数指数 [知识点一]　n次方根、n次根式　 1．a的n次方根的定义：一般地，如果　xn＝a　，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示： n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫作根式，这里n叫作　根指数　，a叫作被开方数． [知识点二]　根式的性质　 1.＝　0　(n∈N*，且n>1)； 2．( )n＝　a　(n∈N*，且n>1)； 3.＝a(n为大于1的奇数)； 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． [知识点三]　分数指数幂　 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3．0的正分数指数幂等于　0　，0的负分数指数幂　没有意义　. [知识点四]　有理数指数幂的运算性质　 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： 1．aras＝　ar＋s　(a>0，r，s∈Q)； 2．(ar)s＝　ars　(a>0，r，s∈Q)； 3．(ab)r＝　arbr　(a>0，b>0，r∈Q)． [知识点五]　无理数指数幂　 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的　实数　.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 常用的几个幂函数的图象，如下 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　) (2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　) (3)＝π－3.(　　) (4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (5)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　) (6)0的任何指数幂都等于0.(　　) (7)函数y＝是幂函数．(　　) (8)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (9)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×　(7)×　(8)√　(9)√ 2．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？ 解：有2个，表示为± 3.的运算结果是(　　 ) A．2　B．－2　　C±2　　D．± 解析：A　[＝＝2.] 4．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　 ) A B. C D. 解析：C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．] 5．计算：π0＋2－2×＝　________　. 答案： 6．若x3＝－5，则x＝　________　. 解析：x3＝－5，则x＝＝－. 答案：－ n次方根的概念问题 [例1]　(1)27的立方根是　________　；16的4次方根是　________　. (2)已知x6＝2 016，则x＝　________　. (3)若有意义，求实数x的取值范围为　________　. [解析]　(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 016，所以x＝±. (3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　(1)3　±2　(2)± (3)[－3，＋∞) n次方根的个数及符号的确定 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． 1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①；②；③；④，其中无意义的有(　　 ) A．1个　B．2个　　C 3个　　D．0个 解析：A　[①中(－3)2n>0，所以有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.] 根式与分数指数幂的互化 [例2]　用分数指数幂的形式表或下列各式a2·(a＞0)；(a＞0)． (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分