3.2 分段函数-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

3．2　分段函数 [知识点]　分段函数　 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围有着不同的　对应关系　的函数表达式．例如：函数y＝|x|与函数y＝是同一分段函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的　并集　；各段函数的定义域的交集是　空集　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　) (4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝则f(2)等于(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：A　[当x＝2 时，则f(2)＝－＝－1.故选A.] 3．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A．1 B．－1 C．－1或1 D．－3或3 解析：B　[函数f(x)＝， 若a＞0，可得f(a)＝－2a，由f(a)＋f(1)＝0，知－2a－2＝0，解得a＝－1(舍)； 若a≤0，可得f(a)＝a2＋1，由f(a)＋f(1)＝0，知a2＋1－2＝0，解得a＝1(舍)或a＝－1，符合题意．综上，a＝－1. 故选B.] 4．(2021·春招，10)已知函数f(x)的对应值如下表所示： 函数y＝f(x)的对应值表 x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 则f[f(2)]等于(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 解析：D　[由表可解f(2)＝5，所以f[f(2)]＝ f(5)＝7，故选D.] 5．已知函数f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值等于　________　. 解析：因为f(x)＝，所以f(－1)＝π2＋1， 所以f(f(－1))＝f(π2＋1)＝0， 所以f(f(f(－1)))＝f(0)＝π. 故答案为π. 答案：π 分段函数求值 [例1]　(2020·春招，26)已知函数f(x)＝ (1)求f[f(1)]的值； (2)求f(|a－1|)＜3，求实数a的取值范围． [解析]　(1)因为1＞0，所以f(1)＝2×1－5＝－3，因为－3＜0，所以f[f(1)]＝f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3. (2)因为|a－1|≥0，则f(|a－1|)＝2|a－1|－5，因为f(|a－1|)＜3，所以2|a－1|－5＜3，即|a－1|＜4，解得－3＜a＜5. [答案]　3　－3＜a＜5 (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象求解． 1．已知函数f(x)＝，则f[f(1)]＝(　　 ) A．5　　B．－5　　　C．－2　　　D．2 解析：A　[∵1>0，∴f(1)＝－2，∵－2＜0， ∴f(－2)＝(－2)2＋1＝5，故B，C，D错误．故选A.] 分段函数的应用 [例2]　某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． [解析]　(1)当5x≤4，即x≤时，3x＜4，所以y＝1.8×(5x＋3x)＝14.4x. 当5x＞4,3x≤4， 即＜x≤，y＝1.8×4＋3×(5x－4)＋1.8×3x＝20.4x－4.8.当3x＞4，即x＞时， 5x＞4，y＝1.8×(4＋4)＋3×(5x－4)＋3×(3x－4)＝24x－9.6，综上 y＝ (2)由(1)知，当0≤x≤时，0≤y≤11.52；当＜x≤时，11.52＜y≤22.4；当x＞时，y＞22.4.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时，x＞ 所以24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5,5x＝7.5， 3x＝4.5； 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4＋3×3.5＝17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8×4＋3×0.5＝8.7元． 2．某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0～200千瓦时(以下简称度)，每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月