3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

3．5　二次函数(二次函数的图象与性质) [知识点一]　二次函数的概念　 1．定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫作二次函数．其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 2．解析式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点为(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)． [知识点二]　二次函数的图象和性质　 解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＜0) 图象 定义域 　R　 　R　 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减；在　　上单调递增 在　　上单调递增；在　　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 [基础自测] 1．函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是(　　 ) A．(1,2)　　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 答案：C 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么(　　 ) A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)大小不能确定 答案：C 3．函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，则(　　) A．f(0)＝f(3) B．f(0)＞f(3) C．f(0)＜f(3) D．无法比较 解析：C　[抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则f(0)＝f(2)．因为函数在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)，即f(0)＜f(3)．故选C.] 4．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是(　　 ) A．x＝， B．x＝， C．x＝， D．x＝， 解析：B　[y＝2x2－x＋1＝2＝22＋，所以抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为.故选B.] 5．已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是单调递减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥－2 B．b≤－2 C．b＞－2 D．b＜－2 解析：B　[x＝－≥1，解得b≤－2.故选B.] 6．(1)二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝　________　，n＝　________　. (2)已知二次函数y＝x2＋(m－2)x－2m，当m＝　______　时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝　______　时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝　______　时，函数图象经过原点． (3)函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向　______　，对称轴为　______　，顶点坐标为　______　；当x＝　______　时，函数取最　______　值y＝　______　；当x　______　时，y随着x的增大而减小． 答案：(1)4,0；(2)2，－2,0；(3)下，x＝－2， (－2,5)，－2，大，5，大于－2. 二次函数的三种解析式形式 [例1]　已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，求此二次函数的表达式． [解析]　设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，可得，解得a＝－2，b＝12，c＝－8. 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8. (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 在求二次函数的表达式时，可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 1．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式． 解析：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2. 又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1.∴顶点坐标是(1,2)． 设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2 ∵二次函数的图象经过点(3，－1)， 代入解得a＝－. ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋. 二次函数的图象性质 [例2]　如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为(　　 ) 解析：B　[若a＜0，b＞0，c＜0，则该二次函数开口向下，对称轴x＝－＞0，与y轴的交点位于x轴下方，符合条件的图象只有选项B.故选B.] (1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜－时，