3.4 函数的奇偶性-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

(1)若a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝. 设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，0<a≤1. 3．4　函数的奇偶性 [知识点]　　 1．函数的奇偶性： 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 关于　原点　对称 2.奇偶性与单调性： 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 3．奇偶性的推广： 一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义． (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义． 4．奇偶性与单调性： 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有　相同　的单调性，当奇函数的定义域里含有原点时，f(0)＝0；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有　相反　的单调性． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　) (4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (5)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(　　) (6)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　) (7)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝|x|　　　　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析：C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C.] 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　 ) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 解析：B　[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.故选B.] 4．下列图象表示的函数是奇函数的是___________________________________， 是偶函数的是　________　.(填序号) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：(2)(4)　(1)(3) 5．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝　________　. 解析：当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． 答案：x(x＋1) 函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋. [解析]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝ －f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)由，得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法： 1．判断下列函数的奇偶性． (1)函数f(x)＝是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既