2.2 不等式的性质-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

2．2　不等式的性质 [知识点一]　实数大小的基本性质　 1．a－b＞0⇔　a＞b　；2.a－b＝0⇔　a＝b　； 3．a－b＜0⇔　a＜b　. [知识点二]　不等式的基本性质　 1．传递性：如果a＞b，b＞c，那么　a＞c　. 2．加法法则：如果a＞b，那么　a＋c＞b＋c　. 3．乘法法则：如果a＞b，c＞0，那么　ac＞bc　.如果a＞b，c＜0，那么　ac＜bc　. [知识点三]　不等式性质的相关推论　 1．移项法则：a＋b＞c⇒　a＞c－b　. 2．不等式相加法则：a＞b，c＞d⇒　a＋c＞b＋d　. 3．不等式相乘法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒　ac＞bd　. 4．乘方法则：a＞b＞0⇒　an＞bn　(n≥2，n∈N*) [知识点四]　几个常用重要不等式　 1．a2　≥　0，(a∈R)． 2．(a－b)2　≥　0，当且仅当　a＝b　时等号成立． 3．a2＋b2　≥　2ab，当且仅当　a＝b　时等号成立． 思考： 1. 若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b是＝成立的充要条件．(　　) (2)a>b⇒ac2>bc2.(　　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(　　) (6)若>1，则a>b.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 2．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　 ) A．ab>ac　　　　　 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0 解析：A　[因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，b－c＞0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．] 3．若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　 ) A.－>0 B.－<0 C.> D.< 解析：D　[因为c<d<0，所以0<－d<－c， 又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac， 又因为cd>0，所以>，即>.] 4．若－<α<β<，则α－β的取值范围是　________　. 解析：由－<α<，－<－β<，α<β， 得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 不等式性质的应用 [例1](特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]　当b<0时， 显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C. [答案]　C 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案． 1．(一题多解)(2021·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．a2<－ab　　　 B．|a|<|b| C.> D.a>b 解析：C　[通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，a<b，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，故选C. 优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.] 数(式)的大小比较 [例2]　已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc. 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．已知x＞1，a＝x3－1，b＝x2－x，则(　　 ) A．a＞b＞0 B．b＞a＞0 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 解析：A　[利用作差法比较大小．因为x＞1，所以a－b＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，b＝x(x－1)＞0，所以a＞b＞0.故选A.] [基础题组练] 1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　 ) A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(