2.1 一元二次方程(配方法与一元二次方程)-【创新教程】2023职教高考数学总复习教师用书word

思维导图 2．1　一元二次方程(配方法与一元二次方程) [知识点一]　一元二次方程　 概念：只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是二次的　整式方程　叫作一元二次方程，它的一般形式为　ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　，其中，　a　称为方程的二次项系数，　b　称为一次项系数，　c　称为常数项． [知识点二]　一元二次方程的解法　 1．配方法： (1)配方法解题步骤： ①ax2＋bx＝－c…移常数项． ②x2＋x＝－…达标(二次项系数化1)． ③x2＋x＋2＝－＋2…搭配常数项． ④2＝…配方得到完全平方式． ⑤开方转化成一次方程求解，或直接利用实数平方的性质求解，具体如下： 当判别式Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，即x＝； 当判别式Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，即x＝； 当判别式Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实数根． 总之，当Δ＝b2－4ac≥0时，一元二次方程的求根公式为x＝. [注意]　解一元二次方程“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)”进行配方时，要注意保持同解变形：可将等式两边同时除以系数a，即将二次项系数化为1(等式右边仍然为零)．配方法适用于全部一元二次方程的求解． 例如：x2＋6x－16＝0的一元二次方程的转化解题步骤： x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16， 两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9， 左边写成平方形式→(x＋3)2＝25，降次→x＋3＝±5，即x＋3＝5或x＋3＝－5， 解一次方程→x1＝2，x2＝－8. 像上面的解题方法，通过配成　完全平方　形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． (2)配方法解一元二次方程的一般步骤总结： ①先将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为　1　； ③常数项移到　右边　； ④方程两边都加上　一次项系数的一半的平方　，使左边配成一个完全平方式； ⑤变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝　－p±　；如果q＜0，方程　无实根　. 用配方法解一元二次方程，移项时需注意改变符号． 2．求根公式法： 求根公式：x＝(Δ＝b2－4ac≥0)． 3．因式分解法： ①提取公因式法；②公式法(平方差公式和完全平方公式)；③十字相乘法． 4．利用根与系数的关系：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝. 常用变形： ①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. [基础自测] 1．方程x2－3＝0的根是(　　 ) A.　B．－　　C．±　　D．3 解析：C　[∵x2－3＝0，∴x2＝3，∴x＝±，故选C.] 2．一元二次方程x2－6x－11＝0配方后是(　　) A．(x－3)2＝2 B．(x－3)2＝20 C．(x＋3)2＝2 D．(x＋3)2＝20 解析：B　[x2－6x－11＝0，∴x2－6x＝11，∴x2－6x＋9＝11＋9，∴(x－3)2＝20，故选B.] 3．若一元二次方程x2＝m有解，则m的取值为(　　 ) A．正数 B．非负数 C．一切实数 D．零 解析：B　[当m≥0时，一元二次方程x2＝m有解．故选B.] 4．用直接降次的方法解方程(2x－1)2＝x2，做法正确的是(　　 ) A．2x－1＝x B．2x－1＝－x C．2x－1＝±x D．2x－1＝±x2 解析：C　[一元二次方程(2x－1)2＝x2，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即开方得2x－1＝±x，故选C.] 5．若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是(　　 ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对 解析：C　[x2＋6x＋m2＝x2＋6x＋9，∴m2＝9， m＝±3.] 6．把方程x2－3＝2x用配方法化为(x＋m)2＝n的形式，则m＝　______　，n＝　______　. 解析：∵x2－3＝2x，∴x2－2x＝3，则x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4，∴m＝－1，n＝4. 答案：－1,4 配方法解一元二次方程 [例1]　(1)解方程x2＋6x＋4＝0. (2)请用配方法解方程：－2x2＋5x＋3＝0. (1)[解]　移项：把常数项移到方程的右边， 得x2＋6x＝－4； 配方：两边都加9，使得左边配成x2＋2bx＋b2的形式，得x2＋6x＋9＝5； 变形：把左边写成完全平方形式，得(x＋3)2＝5； 降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x＋3＝±；求解：解两个一元一次方程，得x1＝－3，x2＝－－3.