第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过直线与圆位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点一　直线与圆的位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 知识点二　直线与圆位置关系的判断方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝． d>r⇔直线l与圆M相离； d＝r⇔直线l与圆M相切； d<r⇔直线l与圆M相交． 1．求圆的切线方程的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程： 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，k存在且k≠0时，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程： 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 所以在求圆的切线方程时要注意点在圆上还是圆外． 2．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为d＝. 3．直线与圆相交时，弦长的求法 (1)几何法：如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程和圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b. 则|AB|＝ ＝ ＝· ＝·. 注意：①当已知圆心坐标和半径时利用几何法较简便； ②若直线方程较特殊(如x＝a，y＝b等)，一般解出坐标再求|AB|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有实数解，则直线与圆相交或相切．(　　) (3)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　) (4)当m＝2时，直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝1必相切．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)设直线l过点P(－2，0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 B．± C．± D．± (2)若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝________． (3)直线3x＋4y＋12＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是________． (4)若直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离，则a的取值范围为________． 答案　(1)C　(2)2　(3)相离　(4)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　直线与圆位置关系的判断 例1　已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？ [解]　判断直线与圆位置关系的问题可转化为b为何值时，方程组有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题． 将②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0.③ 方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)． 当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆