第二章 直线和圆的方程 2.4.1 圆的标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（人教A版）

2．4.1　圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程． 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 核心素养：通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　圆的标准方程 1．确定圆的几何要素 确定圆的几何要素是圆心和半径． 2．圆的标准方程 圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r(r>0)． 知识点二　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 |MA|＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆A上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 |MA|<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆A内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在圆外 |MA|>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆A外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心坐标和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． 2．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 3.求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与过该切点的切线垂直． 4．与圆有关的最值问题 已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下： (1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO. (2)根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1，2)，半径是4.(　　) (4)点(0，0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　) A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4 (2)若圆的圆心坐标为(－1，3)，半径为，则此圆的标准方程为____________________． (3)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝25，则该圆的圆心坐标为________，半径为____________． (4)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1，0)与该圆的位置关系是____________． 答案　(1)A　(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝3 (3)(－2，2)　5　(4)点A在圆上 题型一　求圆的标准方程 例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，求圆C的标准方程． [解]　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)， 由题意知，＝， 解得a＝2， ∴C(2，0)，则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程． [解]　(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程， 于是有 解此方程组，得 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. [