第五章 计数原理 2.1 排列与排列数-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

2.1　排列与排列数 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，理解排列的概念． 教学重点：排列的概念、排列数的概念． 教学难点：用两个基本原理分析和解决一些简单的与排列有关的实际问题． 核心素养：1.通过对排列、排列数概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过利用排列、排列数的概念解决问题，培养逻辑推理及数学运算素养． 知识点一　排列的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 知识点二　排列数的概念 (1)我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. (2)我们把有关求排列的个数的问题叫作排列问题． 　排列的定义包括两个基本内容：一是“取出对象”；二是“按照一定的顺序排成一列”． 注意：所研究的n个对象是互不相同的，取出的m个对象也是不同的．判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同对象中取出m个对象后，再安排这m个对象时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列． 注意“排列”与“排列数”不是同一个概念．排列是从n个不同对象中任取m个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1，2，3与3，2，1为同一排列．(　　) (2)在一个排列中，同一个对象不能重复出现．(　　) (3)从1，2，3，4中任选两个对象，就组成一个排列．(　　) (4)从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________(填“是”或“不是”)排列问题． (2)从1，2，3中任取两个数字可组成的不同的两位数有________个． 答案　(1)不是　(2)6 题型一　排列的概念 例1　判断下列问题是否是排列问题： (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ [解]　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，所以不是排列问题． (2)是．因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标，哪一个数作为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．任取两个球分别放入甲、乙两个盒子里，这是有顺序的，所以这是排列问题． 感悟提升 判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． [跟踪训练1]　判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？ 解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数字中任取3个，与顺序无关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关． 题型二　简单的排列问题 例2　从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b为首的不同排列？它们分别是什么？并计算A. [解]　从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素组成以b为首的不同排列分两个步骤： 第一步：排以b为首的排列的第2个元素，有4种不同的排法； 第二步：排以b为首的排列的第3个元素，有3种