第五章 计数原理 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 (1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”． (2)分类加法计数原理的特点：类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路”来理解)． (3)分步乘法计数原理的特点：步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少)，这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路”来理解)． 2．解决排列组合应用题的原则 解决排列组合应用题的原则有特殊优先、先取后排、正难则反、相邻问题“捆绑”处理、不相邻问题“插空”处理等． (1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑． (2)正难则反的原则：对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的排除法求解． (3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列． (4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入． (5)指标问题采用“隔板法”的原则 把问题转化为：把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的插法数，即C种． (6)先取后排的原则：对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则，即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列． (7)定序问题倍缩、空位插入原则：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理． (8)分排问题直排原则：一般地，对于元素分成多排的排列问题，可先转化为一排考虑，再分段研究． (9)小集团问题先整体后局部原则：小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理． (10)构造模型原则：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位插空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观理解，容易解决． 3．二项式定理及其应用 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，其中各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数，第k＋1项Can－kbk叫作二项展开式的通项． (2)二项式系数的性质 ①对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，体现了组合数性质C＝C. ②增减性与最大值． 当k<时，二项式系数C逐项增大； 当k>时，二项式系数C逐项减小． 当n为偶数时，展开式中间一项T＋1的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式中间两项与的二项式系数，相等且最大． ③各二项式系数之和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n； 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. (3)求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求k，再求Tk＋1.有时还需先求n，再求k，才能求出Tk＋1. (4)有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏． (5)对于二项展开式的系数问题，首先要熟记二项式定理，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项展开式的系数问题的一个重要手段． (6)对于二项式定理的应用问题，应注意的几点 ①关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ②证明不等式时，应注意运用放缩法； ③近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项； ④用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决． 学科思想培优 一、基本计数原理 (1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”． (2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成． [典例1]　某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．1