第三章 空间向量与立体几何 单元质量测评-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

第三章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 答案　C 解析　因为≠≠，且u·v≠0，所以α，β相交但不垂直． 2．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　) A.，－ B．－，－ C．－， D.， 答案　A 解析　由题意知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－. 3．一束光线自点P(－1，1，1)发出，被yOz平面反射后到达点Q(－6，3，3)被吸收，则光线所走的路程是(　　) A. B. C. D．3 答案　C 解析　因为点Q(－6，3，3)关于yOz平面的对称点为Q′(6，3，3)，所以光线所走的路程为|PQ′|＝＝.故选C. 4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　C 解析　如图，＝(＋)，＝，·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2. 5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF与BC1的夹角为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 答案　B 解析　令＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|，＝b＋c，＝(c－a)，再令|a|＝2，则||＝2，||＝.又·＝(b＋c)·(c－a)＝(b·c－b·a＋|c|2－c·a)＝(0－0＋4－0)＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴直线EF与BC1的夹角为60°. 6．已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是两平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，∴平面α的一个法向量可取m＝(3，－5，1)，平面x－3y＋7＝0的一个法向量为a＝(1，－3，0)，平面4y＋2z＋1＝0的一个法向量为b＝(0，4，2)，设两平面的交线l的一个方向向量为n＝(x，y，z)，由令x＝3，则y＝1，z＝－2，所以n＝(3，1，－2)，设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.故选A. 7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(　　) A. B．2 C．2 D．3 答案　D 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设P(a，b，0)，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴·＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，0≤b≤1，∴点P的轨迹是一条线段，||2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可得当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P的长度的最大值为3.故选D. 8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，当E，F分别为AB，BC的中点时，A1，E，F，C1四点共面．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(6，0，6)，C1(0，6，6)，E(6，3，0)，F(3，6，0)，＝(6，3，0)，＝(6，0，6)，＝(3，6，0)，＝(0，6，6)．设平面A1DE的一个法向量为n1＝(a，b，c)，依题意，得 令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1，2，1)为平面A1DE的一个法向量．同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1，1)．所以|cos〈n1，n2〉|＝＝，故平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为. 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．以下四组向