第一章 直线与圆 1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案word（北师大版2019）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 教学重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：通过研究两点间的距离公式、点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　两点间的距离公式 对于坐标平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得A，B两点间的距离公式|AB|＝． 知识点二　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0)． 知识点三　两条平行直线间的距离公式 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，C1≠C2)，则l1与l2间的距离 d＝； ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A，B两点的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) (2)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (3)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　) (4)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知点A(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A. B．2－ C.－1 D.＋1 (2)点P(1，2)到坐标原点O的距离等于________． (3)若点(4，3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________． (4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________． 答案　(1)C　(2)　(3)±5　(4)2 题型一　两点间的距离公式及应用 例1　已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，判断这个四边形是哪种四边形． [解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝－1， ∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝＝3， |AD|＝＝3， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形． [条件探究]　将本例中D点坐标改为(0，21)，则此四边形又为哪种四边形？ 解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC，|AB|≠|CD|且AB⊥AD. ∴四边形ABCD为直角梯形． 感悟提升 判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形． (2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用． [跟踪训练1]　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)， (1)判断△ABC的形状； (2)求BC边上的中线AM的长． 解　(1)解法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二：∵kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)设点M的坐标为(x，y)， ∵点M为BC的中点， ∴x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2，2)． 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝， ∴BC边上的中线AM的长为. 题型二　点到直线的距离公式及应用 例2　(1)点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为(　　) A. B．5 C. D．4 [解析]　点(－1，1)到直线4x＋2y－3＝0的距离为＝.故选A. [答案]　A (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． [解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，