第五章 计数原理 章末复习-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（北师大版2019）

章末复习 知识系统整合 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 规律方法收藏 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 (1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”． (2)分类加法计数原理的特点：类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路”来理解)． (3)分步乘法计数原理的特点：步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少)，这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路”来理解)． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 2．解决排列组合应用题的原则 解决排列组合应用题的原则有特殊优先、先取后排、正难则反、相邻问题“捆绑”处理、不相邻问题“插空”处理等． (1)特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑． (2)正难则反的原则：对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的排除法求解． (3)相邻问题“捆绑”处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 (8)分排问题直排原则：一般地，对于元素分成多排的排列问题，可先转化为一排考虑，再分段研究． (9)小集团问题先整体后局部原则：小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理． (10)构造模型原则：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位插空模型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观理解，容易解决． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 (6)对于二项式定理的应用问题，应注意的几点 ①关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ②证明不等式时，应注意运用放缩法； ③近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项； ④用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 学科素养培优 一、基本计数原理 (1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”． (2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 [典例1]　某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　) A．14 B．16 C．20 D．48 [解析]　分两类： 第一类，甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得共有2×6＝12种情况； 第二类，3人全来自其余4家企业，有4种情况． 综上可知，共有12＋4＝16种情况． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 [典例2]　某幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮里有草莓、苹果、芒果3种水果，李老师的果篮里有苹果、樱桃、香蕉、猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，则小华选到两种不同水果的情况有________种． 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 [解析]　两名老师的果篮里都有苹果，所以应先分类后分步．第一类，如果小华在王老师那里选到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中选，共有1×3＝3种情况；第二类，如果小华在王老师那里选到的不是苹果，就有2种情况，那么在李老师那里选就有4种情况，共有2×4＝8种情况．根据分类加法计数原理，得小华选到两种不同水果的情况有3＋8＝11种． [答案]　11 1 知识系统整合 2 规律方法收藏 3 学科素养培优 二、排列与组合 区分排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，有序的问题属于排列问题，无序的问题属于组合问题．在解决排列组合应用题时可应用如前所述十条原则． [典例3]　五位老师和五名学生站成一排， (1)五名学生必须排在一起共有多少种排法？ (2)五名学生