专题03 立体几何、计数原理与概率统计考前必刷-【最后冲刺】2023年高考数学考前必刷题汇编（北京专用）

专题03 立体几何、计数原理与概率统计 3.1 空间几何体 1.（2023丰台二模04）若某圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的体积为 A. B. C. D. 2.（2023西城二模06）将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为. 若，则四面体 的体积为 A. B. C. D. 3.（2023东城二模14）如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为的两部分，则_________. 3.2 点、线、面位置关系 1.（2023朝阳二模09）如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是 A.存在点，使得 B.存在点，使得平面 C.三棱锥的体积是定值 D.存在点，使得与所成的角为 2.（2023昌平二模15）如图，在长方体中，，，动点分别在线段和上. 给出下列四个结论： ①； ②不可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形. 其中所有正确结论的序号是_________. 3.（2023房山二模15）如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点. 给出下面几个结论： ①四边形是平行四边形； ②四边形可能是正方形； ③存在平面与直线垂直； ④任意平面与平面垂直； ⑤平面与平面夹角余弦的最大值为. 其中所有正确结论的序号是_________. 3.3 空间向量在立体几何中的应用 1.（2023海淀二模08）已知正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且，是对角线的中点，是对角线上一个动点，则两点之间距离的最小值为 A. B. C. D. 2.（2023西城二模16）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 3.（2023丰台二模17）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求点到平面的距离； （Ⅲ）过点与垂直的平面交直线于点，求的长度. 4.（2023朝阳二模18）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，是的中点，平面与线段交于点. （Ⅰ）证明：为的中点； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：三角形的面积为； 条件②：三棱锥的体积为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 5.（2023房山二模17）如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题： （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6.（2023东城二模17）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，为线段上一点. （Ⅰ）设为的中点，求证：； （Ⅱ）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值. 7.（2023昌平二模17）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，分别是的中点，是上一点，且. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成 角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 8.（2023海淀二模18）如图，在四棱锥，平面，底面为菱形，分别为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 3.4 计数原理，二项式定理 1.（2023昌平二模02）在的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 2.（2023海淀二模03）若的展开式中常数项为，则 A. B. C. D. 3.（2023东城二模06）某社区计划在端午节前夕按如下规则制作香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有 A.种 B.种 C.种 D.种 4.（2023丰台二模11）在的展开式中，的系数为_________.（用数字作答） 5.（2023朝阳二模12）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为，则_________，展开式中的系数为_________. 6.（2023房山二模11）若，则_________. 3.5 概率分布列 1.（2023西城二模18）体重指数（Body Mass Index，简称BMI）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标. 已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）. 对成人，若，则身体处于肥胖状态. 某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系）. 假设用频率估计