第三章 课时作业(19) 利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(十九)　利用导数研究函数的零点问题 [基础保分练] 1．已知函数f(x)＝ex－kx(k∈R). (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)当k＝1时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＞0，则x＞0，f(x)单调递增； 令f′(x)＜0，则x＜0，f(x)单调递减． 故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，0). (2)设P(x0，y0)是函数y＝ex上一点， 由y＝ex得y′＝ex，所以y＝ex在点P处的切线方程是 y－＝ (x－x0)， 令x＝y＝0，则x0＝1， 所以过原点作y＝ex的切线方程为y＝ex. 故当k＜0或k＝e时，函数f(x)有1个零点； 当k＞e时，函数f(x)有2个零点； 当0≤k＜e时，函数f(x)无零点． 2．(2023·山东淄博调研)已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，g(x)＝x2＋4. (1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，证明：h(x)在R上有且仅有三个零点． (1)解：f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x. 当x∈∪时，f′(x)>0； 当x∈∪时，f′(x)<0， ∴f(x)在，上单调递增，在，上单调递减． (2)证明：h(x)＝x2＋4－4x sin x－4cos x， ∵h(－x)＝x2＋4－4x sin x－4cos x＝h(x)， ∴h(x)为偶函数． 又∵h(0)＝0， ∴x＝0为函数h(x)的零点． 下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数． h(x)＝x2＋4－4x sin x－4cos x＝x(x－4sin x)＋4(1－cos x). 当x∈[4，＋∞)时，x－4sin x>0，4(1－cos x)≥0， ∴h(x)>0，∴h(x)无零点； 当x∈(0，4)时， h′(x)＝2x－4x cos x＝2x(1－2cos x)， 当x∈时，h′(x)<0； 当x∈时，h′(x)>0， ∴h(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴h(x)min＝h＝＋4－sin －4cos ＝＋2－<0， 又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin 4－4cos 4>0， ∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点． 综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点， 又h(0)＝0且h(x)为偶函数， 故h(x)在R上有且仅有三个零点． 3．(2022·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝ex＋a cos x，其中x＞0，e为自然对数的底数，a∈R. (1)当a＝－1时，讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)的导函数f′(x)在(0，π)内有且仅有一个零点，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ex－cos x， 则f′(x)＝ex＋sin x， 由x＞0，则ex＞1，－1≤sin x≤1， ∴f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)由f′(x)＝ex－a sin x＝0，得a sin x＝ex， ∵x∈(0，π)，即sin x＞0， ∴a＝，令g(x)＝，0＜x＜π， 则g′(x)＝， 由g′(x)＝0，得x＝， 当0＜x＜时，g′(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减； 当＜x＜π时，g′(x)>0，g(x)在(，π)上单调递增． 当x→0或x→π时，g(x)→＋∞. 故当x∈(0，)∪(，π)时， g(x)＝a有两个根，即f′(x)有两个零点， ∴a＝g()＝e. 4．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0， 故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0. 又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)存在唯一的极值点． (2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0， 所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得<1<x0. 又f()＝(－1)ln －－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根． 所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [技能提分练] 5．(2023·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝－2(a∈R). (1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过