第三章 课时作业(18) 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(十八)　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 [基础保分练] 1．(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2a2x＋a－＝(a>0). 令f′(x)＝0，则2a2x2＋ax－3＝0， 即(ax－1)(2ax＋3)＝0. 又a>0，x>0，∴ax－1＝0，∴x＝. 当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)上单调递减； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，则f(x)min>0， 故f(x)min＝f()＝a2×()2＋a×－3ln ＋1>0， ∴3ln a>－3，∴ln a>－1.∴a>e－1＝. ∴a的取值范围是(，＋∞). 2．(2023·娄底月考)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立， 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x. 当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0，符合题意． 当a＞时，由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)， 从而f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)， 故当x∈(0，ln 2a)时，f′(x)<0，而f(0)＝0， 于是当x∈(0，ln 2a)时，f(x)<0，不符合题意． 综上可得a的取值范围为(. 3．(2023·吉林长春模拟)设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R). (1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝2x－(a＋2)＋ ＝(x>0)， 又f′(3)＝4－＝0， 所以a＝6，经检验符合条件， 所以f′(x)＝， 令f′(x)>0，得0<x<1或x>3； 令f′(x)<0，得1<x<3， 所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，(3，＋∞)，单调递减区间是(1，3). (2)由题意f(x)≥1⇔f(x)min≥1， 当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1； 令f′(x)<0，得0<x<1， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝－a－1， 所以－a－1≥1，即a≤－2， 当a>0时，①当0<<1，即0<a<2时， 存在f(1)＝－a－1<0； ②当>1，即a>2时，存在f(1)＝－a－1<0； ③当＝1，即a＝2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，存在f(1)＝－3<0， 可知a>0时，f(x)≥1不恒成立． 综上，a≤－2. [技能提分练] 4．(2023·山东淄博实验中学月考)已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝x2＋x(a≤0且a为常数). (1)当a＝0时，求函数f(x)的最小值； (2)若存在x∈(1，2]使得f(x)≥g(x)－2a－2成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x ln x(x＞0)，则f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)＜0可得0＜x＜；令f′(x)＞0可得x＞. ∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝－. (2)令F(x)＝f(x)－g(x)＋2a＋2 ＝(x＋a)ln x－x2－x＋2a＋2， 则题目等价于F(x)≥0在x∈(1，2]上有解， F′(x)＝ln x－ax＋， 令h(x)＝ln x－ax＋， 则h′(x)＝－a－＝， 当a＝0时，F′(x)＝ln x＞0，则F(x)在(1，2]上单调递增， 此时F(x)max＝F(2)＝2ln 2＞0，满足题意， 当a＜0时，h′(x)＞0在(1，2]上恒成立， 即F′(x)在(1，2]上单调递增， 则F′(x)＞F′(1)＝0， 故F(x)在(1，2]上单调递增， 则F(x)max＝F(2)＝(a＋2)ln 2， 则要使F(x)≥0在x∈(1，2]上有解， 需满