第三章 课时作业(17) 利用导数证明不等式（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版 新教材 新高考）

课时作业(十七)　利用导数证明不等式 [基础保分练] 1．(2023·宁夏贺兰期末)已知函数f(x)＝a ln x－x2(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，证明：f(x)＞－－x2. (1)解：由题易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2x＝. 当a≤0时，f′(x)<0恒成立， 因此f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，令f′(x)>0，得0＜x＜ ； 令f′(x)＜0，得x＞ . 故f(x)在(0, )上单调递增， 在( ，＋∞)上单调递减． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(0, )上单调递增， 在( ，＋∞)上单调递减． (2)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x－x2， 不等式f(x)＞－－x2，即ln x＋＞， 令g(x)＝ln x＋， 则g′(x)＝－＝， 令g′(x)＝0，得x＝1. 所以当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(1)＝1.又当x>0时，＜1， 所以ln x＋＞，故原不等式得证． 2．(2023·江苏连云港模拟)已知f(x)＝x ln x. (1)求函数f(x)的极值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． (1)解：由f(x)＝x ln x，x>0， 得f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＝0，得x＝. 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝时，f(x)取得极小值， f(x)极小值＝f ＝－，无极大值． (2)证明：问题等价于证明 x ln x>－，x∈(0，＋∞). 由(1)可知f(x)＝x ln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取得． 设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 则m′(x)＝，由m′(x)<0，得x>1，此时m(x)单调递减；由m′(x)>0，得0<x<1，此时m(x)单调递增，易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取得．从而对一切x∈(0，＋∞)，x ln x≥－≥－，两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 3．(2023·湖北武汉月考)已知函数f(x)＝x－2a ln x－(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若x1，x2为函数f(x)的两个极值点，证明：＞2－4a. (1)解：f′(x)＝，x＞0， 令x2－2ax＋1＝0，Δ＝4a2－4， 当Δ≤0，即－1≤a≤1时，f′(x)≥0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当Δ＞0，即a＞1或a＜－1时， ①当a＜－1时，－2ax＞0，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a＞1时，令f′(x)＝0，得x1＝a－，x2＝a＋，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下， x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上，当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，f(x)在(0，a－)，(a＋，＋∞)上单调递增，在(a－，a＋)上单调递减． (2)证明：由(1)知a＞1时f(x)有两个极值点x1，x2， 且x1＋x2＝2a，x1x2＝1，不妨设x2＞1＞x1＞0， 则 ＝ ＝ ＝2－. 要证＞2－4a，即证＜2， 即＜2，∴ln x2－x2＋＜0， 设g(t)＝ln t－t＋(t＞1)， 由(1)知当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(t)＝－f(t)，则g(t)在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(t)＜g(1)＝0.原式得证． [技能提分练] 4．(2023·江苏高三三模)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2＋(ln x)2.证明： (1)两函数图象有且只有一个公共点； (2) － ＞ln (n＋1)(n∈N*)． 证明：(1)令h(x)＝x＋－(ln x)2－2， 则h′(x)＝1－－2ln x·＝. 令φ(x)＝x－－2ln x， 则φ′(x)＝1＋－＝＝≥0. ∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，注意到φ(1)＝0， ∴当0＜x＜1时，φ(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x＞1时，φ(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增； ∴h(x)≥h(1)＝0，当且仅当x＝1时等号成立， ∴两函数图象有且只有一个公共点． (2)由(1)知x＋－(ln x)2－2≥0对任意的x＞0恒成立， ∴(ln x)2≤(－)2， 当x＞1时，ln x＜－，取x＝，k＝1，2，…，n，k∈N*， ∴ln