5.1.1 变化率问题 导学案+限时训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 教学目标 序号 知能目标 学法建议 课标要求 素养高相关 1 掌通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.（重点） 阅读课本 理解、掌握 数学抽象 2 通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.（重点） 阅读课本 掌握 数学抽象、 数学运算 3 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．（难点） 阅读课本 掌握 数学运算 自主学习 学习任务1：平均变化率 自主探究1:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到如水的过程中运动的快慢程度呢？ 问题1：请计算运动员在时间段①，② ，③内的平均速度？ 生成知识： 一、平均速度 1.平均速度：设物体运动路程与时间的关系是，在 到这段时间内，则物体运动的平均速度为 . 2.平均变化率：对于函数，从到的平均变化率： (1)自变量的改变量： . (2)函数值的改变量： . (3)平均变化率 . 问题2：计算运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 生成知识：瞬时速度 （1）瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度. （2）极限：函数在处的瞬时速度是函数从2到的平均变化率在时的极限，即 . 问题3：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？ 思考1：你能推导出任意时刻对应的瞬时速度的表达式吗？ 迁移应用：求平均速度与瞬时速度 例1 已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为（位移单位：），时间（单位：）. (1)当，时，求； (2)当，时，求； (3)求质点M在时的瞬时速度． 【跟踪训练】1 一个小球从5的高处自由下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.求时小球的瞬时速度. 学习任务2：抛物线的切线的斜率 自主探究2: 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线，如何确定它的切线呢？ 以抛物线为例进行研究 问题4：你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？ 生成知识： 1.曲线在某一点处的切线的定义 设曲线是函数的图象，在曲线上取一点,及邻近一点，过 ，两点作割线，当点沿着曲线无限接近于点即时,如果割线有一个极限位置, 那么直线叫做曲线在点处的切线。 思考2：此处切线定义与以前的定义有何不同？ 问题5：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？ 2.曲线在某一点处的切线的斜率 设， 是抛物线 上不同两点，则割线的斜率 （其中 ），当点无限趋近于点 时，我们可以用割线 的斜率近似地表示点 处切线的斜率. 例2 求抛物线在点处切线的斜率及切线方程. 方法总结：求抛物线 在点处的切线方程的步骤： （1）求出点的坐标 ； （2）求出抛物线在点处切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程. 【跟踪训练】2 求抛物线在处的切线方程.. 例3 （求切点坐标）过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角． 方法点拨　求切点坐标的一般步骤： (1)设出切点坐标． (2)利用导数或斜率公式求出斜率． (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 【跟踪训练】 2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． 自主检测 1．已知一直线运动的物体，当时间从变到时物体的位移为，那么为（ ） A．时间从变到时物体的速度 B．当时刻该物体的瞬时速度 C．当时间为时物体的速度 D．时间从变到时物体的平均速度 2．一个物体的运动方程为.其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒时的瞬时速度是（ ） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 3．火箭发射后，其高度（单位：）为．求： （1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10时，火箭爬高的瞬时速度. 4．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间上的平均变化率．